地球物理學反演第三章廣義反演法

1、第三章 廣義反演法,,正演：模型?數(shù)據(jù)反演：數(shù)據(jù)?模型,m 模型,d 數(shù)據(jù),,,正演,反演,第一節(jié) 廣義逆矩陣的概念,逆矩陣：G矩陣非奇異 求逆方法： 伴隨矩陣法（低階） 初等變換法（高階）,G矩陣奇異：廣義逆：,,代數(shù)余子式,伴隨矩陣法,初等變換法,第一節(jié) 廣義逆矩陣的概念,超定問題：M>N=r 最小方差解,欠定問

2、題：r=M<N 模型最小長度解,,,,第一節(jié) 廣義逆矩陣的概念,廣義逆條件：Penros定義試證明最小方差解和模型最小長度解滿足以上條件。,,第二節(jié) 奇異值分解和自然逆,,奇異值分解：SVD（singular value decomposition）,G是M階實對稱、非奇異矩陣,U是G的M個特征向量組成的特征向量矩陣，正交矩陣Λ是G的M個特征值組成的對角線矩陣,第二節(jié) 奇異值分解和自然逆,,奇異

3、值分解：SVD（singular value decomposition）,2. G是M階非對稱、非奇異矩陣,U、V分別是GGT和GTG 對應的特征向量組成的特征向量矩陣，正交矩陣Λ是GGT或GTG的特征值正根組成的對角線矩陣,第二節(jié) 奇異值分解和自然逆,,奇異值分解：SVD（singular value decomposition）,3. G是M*N階奇異矩陣—奇異值分解,r是矩陣G的秩Ur、Vr分別是GGT和GTG 對應的

4、特征向量組成的特征向量矩陣，半正交矩陣Λr是GGT或GTG的r個非零特征值正根組成的對角線矩陣,第二節(jié) 奇異值分解和自然逆,,奇異值分解：SVD（singular value decomposition）,3. G是M*N階奇異矩陣—奇異值分解,Lanczos逆=自然逆（natural inverse）=廣義逆,正交分解和奇異值分解,第三節(jié) 廣義反演法,概念：采用廣義逆算子建立起來的解線性反演問題的方法,,,正定、超定、欠定和混

5、定,第四節(jié) 數(shù)據(jù)分辨矩陣,數(shù)據(jù)分辨矩陣：data resolution matrix,M階,純欠定：,超定：,數(shù)據(jù)分辨矩陣性質：1. 主對角要素表明理論數(shù)據(jù)與觀測數(shù)據(jù)之間的逼近程度。純欠定情況下的數(shù)據(jù)分辨力最高；2. 數(shù)據(jù)分辨矩陣與觀測數(shù)據(jù)無關，只與核函數(shù)（系數(shù)矩陣）和先驗信息相關。,第五節(jié) 參數(shù)分辨矩陣,參數(shù)分辨矩陣：parameter resolution matrix,N階,純欠定：,超定：,參數(shù)分辨矩陣性質：1.

6、主對角要素表明構制模型與真實模型之間的接近程度。超定情況下的參數(shù)分辨力最高；2. 參數(shù)分辨矩陣與觀測數(shù)據(jù)無關，只與核函數(shù)（系數(shù)矩陣）和先驗信息相關。,數(shù)據(jù)分辨矩陣 參數(shù)分辨矩陣純欠定 單位矩陣 非單位矩陣超定 非單位矩陣 單位矩陣混定 非單位矩陣 非單位矩陣,CT (Computerized tomography) 技術與地震層析成像技術,地震ＣＴ,數(shù)據(jù),,層析

7、成像原理,天然地震層析成像,混定情況,求F和R？,超定情況,求F和R？,第六節(jié) 特征值的應用,判斷反演問題的穩(wěn)定性——條件數(shù)特征值對觀測數(shù)據(jù)的影響（正演）特征值對模型參數(shù)的影響（反演）特征值在誤差傳遞中的作用（結果評價）,,,判斷反演問題的穩(wěn)定性——條件數(shù),條件數(shù)事實上表示了矩陣計算對于誤差的敏感性。對于線性方程組Ax=b， 如果A的條件數(shù)大，b的微小改變就能引起解x較大的改變，數(shù)值穩(wěn)定性差。 它也可以表示b不變，而A

8、有微小改變時，x的變化情況。,,,,,,,,例1,,,,,,,,,,,,,,,,例2,條件數(shù)事實上表示了矩陣計算對于誤差的敏感性。對于線性方程組Ax=b， 如果A的條件數(shù)小，b有微小的改變，x的改變也很微小，數(shù)值穩(wěn)定性好。 它也可以表示b不變，而A有微小改變時，x的變化情況。,判斷反演問題的穩(wěn)定性——條件數(shù),2. 特征值對觀測數(shù)據(jù)的影響（正演）,特征值越大，對重建觀測數(shù)據(jù)的貢獻越大；反之，越小！,3. 特征值對模型參數(shù)的影響（