積分方程求解及一類機(jī)械化算法研究.pdf

1、積分方程是繼微分方程之后出現(xiàn)的一個新的近代數(shù)學(xué)的重要分支,也是科學(xué)研究和解決工程技術(shù)問題的重要工具之一,具有廣泛的應(yīng)用.方程求解是積分方程研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)之一。本文在前人研究的基礎(chǔ)上,利用吳文俊院士所倡導(dǎo)的“數(shù)學(xué)機(jī)械化”的思想和方法研究了積分方程求解以及機(jī)械化算法等問題.主要工作包括如下幾個部分： 第一章,簡要綜述了積分方程研究簡史、積分方程求解方法、數(shù)學(xué)機(jī)械化及其應(yīng)用等,在此基礎(chǔ)上探討了運(yùn)用數(shù)學(xué)機(jī)械化思想和方法求解積分方程的必

2、要性與可行性. 第二章,研究了Fredholm積分方程及其方程組的豫解核求解法,在此基礎(chǔ)上,建立了基于國際通用計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Maple平臺的機(jī)械化算法,利用這些算法求解Fredholm積分方程時,所要做的全部事情就是輸入描述方程的信息,然后機(jī)械化算法將給出所求方程的解析解.特別地,在機(jī)械化求解的算法設(shè)計中,為了增加求解過程的邏輯性和理解度,設(shè)計了可讀性求解過程輸出,使得機(jī)械化求解結(jié)果與我們用紙和筆求解方程時的過程幾乎足一樣的.

3、 第三章,研究了Volterra積分方程的Neumann級數(shù)與Taylor級數(shù)求解法,以及求解Volterra積分方程組的迭代法,在此基礎(chǔ)上,在Maple平臺上建立了相應(yīng)的機(jī)械化算法,利用這些算法獲得了此類積分方程(組)的解析解或者近似解.特別是在利用Neumann級數(shù)法求解Volterra積分方程的過程中,將得到的有限迭代核序列kN(s,t)(N=1,2,…,10)“分解”為若干個部分,對每一部分逐一運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法,最后再按照原

4、來“分解”的邏輯順序合并在一起,從而獲取了迭代核的通項(xiàng)公式kn(s,t),對此無窮求和獲得了該類積分方程的解析解,也就是探論了利用有限項(xiàng)結(jié)果通過數(shù)學(xué)歸納法得到通項(xiàng)公式并最終得到解析解的自動化推理問題。 第四章,研究了高階非線性Volterra-Fredholm積分-微分方程的Taylor多項(xiàng)式解的算法,在此基礎(chǔ)上,建立了基于Maple平臺的機(jī)械化算法,利用該算法獲得了此類積分-微分方程的Taylor多項(xiàng)式解或解析解.在此基礎(chǔ)上,