畢業(yè)設(shè)計(jì)--基于rat 變換的線性調(diào)頻信號(hào)檢測(cè)技術(shù)研究

1、<p>　　畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）題目：</p><p>　　基于RAT變換的線性調(diào)頻信號(hào)檢測(cè)技術(shù)研究 </p><p>　　學(xué) 院： 信息與電子學(xué)院 </p><p>　　專 業(yè)： XXXXXXXXXXXX </p><

2、p>　　班 級(jí)： XXXXX </p><p>　　姓 名： XXXX </p><p>　　指導(dǎo)教師： XXXXXX </p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　線性調(diào)頻（LFM）信號(hào)是一種廣泛使用在雷達(dá)、語(yǔ)音、聲納等領(lǐng)

3、域的信號(hào)。所以 LFM 信號(hào)的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，長(zhǎng)期以來(lái)為人們所重視，作了廣泛深入的研究。由于線性調(diào)頻信號(hào)是一種非平穩(wěn)信號(hào)，它的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題較一般的信號(hào)復(fù)雜，現(xiàn)有的分析方法多基于時(shí)頻平面的二維分析，普遍比較復(fù)雜，相對(duì)于現(xiàn)有的硬件條件來(lái)說(shuō)，很難做到實(shí)時(shí)處理。所以尋找快速簡(jiǎn)便且性能優(yōu)越的處理方法的需要十分迫切。</p><p>　　本文主要介紹了Radon-Ambiguity變換（RAT）的定義和基本性質(zhì)，結(jié)合解線調(diào)技術(shù)

4、驗(yàn)證了一種基于RAT的線性調(diào)頻LFM信號(hào)檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)方法，該方法能用較少的計(jì)算量完成對(duì)LFM 信號(hào)的檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)。為解決多分量條件下LFM信號(hào)分量之間交叉項(xiàng)的影響，基于逐次消去思想，提出了一種基于RAT的多分量LFM信號(hào)檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)算法，它可以有效地解決強(qiáng)度相差較大的多分量LFM信號(hào)的檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該算法的有效性。</p><p>　　關(guān)鍵詞：線性調(diào)頻信號(hào)；時(shí)頻分析；Radon-Am

5、biguity 變換</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Linear frequency modulated ( LFM ) signal is a kind of signal widely used in radar, sonar and other fields.Therefore parameter estimation

6、 of LFM signals is deeply researched worldwide. As the non-stationary feature of LFM signals, parameters are harder to detect than stationary signals. Methods used now are based on two-dimension search in time-frequency

7、plane which are always complex. It’s urgent to find simple and effective algorithm with low computational complexity.</p><p>　　This paper mainly introduces the Radon-ambiguity transform ( RAT ) definition an

8、d the basic properties, it combines dechirp technique based on RAT linear frequency modulated LFM signal detection and parameter estimation method, the method can use less computation to complete LFM signal detection and

9、 parameter estimation. In order to solve the multi component under the conditions of LFM signal component between the effects of cross terms, based on the ideas of the successive elimination, put forw</p><p>

10、;　　Keywords: linear frequency modulation signal; time-frequency analysis; Radon-Ambiguity transform</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　第1章 引 言1</p><p>　　1.1 應(yīng)用背景1</p>

11、;<p>　　1.1.1發(fā)展歷程2</p><p>　　1.1.2 Radon變換相關(guān)應(yīng)用3</p><p>　　1.2非平穩(wěn)信號(hào)分析理論4</p><p>　　1.2.1 LFM信號(hào)介紹4</p><p>　　1.2.2時(shí)頻分析法5</p><p>　　1.2.3 Gabor變換6</

12、p><p>　　1.2.4模糊函數(shù)8</p><p>　　第2章Radon-Wigner變換原理9</p><p>　　2.1 Wigner-ville分布9</p><p>　　2.1.1單分量 LFM 信號(hào)的 Wigner-Ville 分布9</p><p>　　2.1.2 Wigner 分布中的交叉項(xiàng)11&

13、lt;/p><p>　　2.2Radon-wigner變換定義11</p><p>　　2.2.1 Radon變換定義11</p><p>　　2.2.2 Radon-Wigner變換定義14</p><p>　　2.3 Radon-Wigner變換性質(zhì)16</p><p>　　2.3.1 基本性質(zhì)16</

14、p><p>　　2.3.2 運(yùn)算法則20</p><p>　　第3章 基于RAT變換的LFM信號(hào)檢測(cè)原理24</p><p><b>　　3.1概述24</b></p><p>　　3.1.1Radon變換24</p><p>　　3.1.2 Radon-Ambiguity變換(RAT)2

15、4</p><p>　　3.2基于RAT變換的多分量LFM信號(hào)檢測(cè)算法25</p><p>　　3.3 RAT變換法檢測(cè)chirp信號(hào)并估計(jì)調(diào)頻率26</p><p>　　第4章 基于RAT的線性調(diào)頻信號(hào)檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)仿真28</p><p>　　4.1 MATLAB相關(guān)背景28</p><p>　　4.1.

16、1發(fā)展歷史28</p><p>　　4.1.2基本功能28</p><p>　　4.1.3基本應(yīng)用29</p><p>　　4.2仿真程序30</p><p>　　4.3 仿真結(jié)果33</p><p>　　4.4仿真結(jié)果分析37</p><p>　　第5章 總結(jié)38</p&

17、gt;<p><b>　　致 謝39</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)40</b></p><p><b>　　附 錄42</b></p><p><b>　　第1章 引 言</b></p><p><b>

18、　　1.1應(yīng)用背景</b></p><p><b>　　1.1.1發(fā)展歷程</b></p><p>　　線性調(diào)頻（LFM）信號(hào)是一種廣泛使用在雷達(dá)、語(yǔ)音、聲納等領(lǐng)域的信號(hào)。在雷達(dá)系統(tǒng)中，作為大時(shí)寬帶寬積的擴(kuò)頻信號(hào)，LFM信號(hào)可以在獲得大的時(shí)間分辨率的同時(shí)獲得大的距離分辨率。另一方面，在語(yǔ)音、醫(yī)學(xué)等很多領(lǐng)域，很多信號(hào)本身就具有線性調(diào)頻信號(hào)的特征，比如鳥的鳴叫

19、聲、腦電波信號(hào)等。</p><p>　　特別是在雷達(dá)領(lǐng)域里，線性調(diào)頻雷達(dá)信號(hào)是一種成熟的低截獲概率雷達(dá)信號(hào)，這種信號(hào)很好地解決了探測(cè)距離和距離分辨率之間的矛盾。但由于線性調(diào)頻信號(hào)是一種非平穩(wěn)信號(hào)，這種信號(hào)在短時(shí)間內(nèi)，信號(hào)頻率變化很大，它的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題較一般的信號(hào)復(fù)雜，因此也得到了國(guó)內(nèi)外廣泛的研究。</p><p>　　一種傳統(tǒng)的、并可以得到很高精度的漸進(jìn)無(wú)偏估計(jì)方法是極大似然估計(jì)法。這種方

20、法抗噪能力強(qiáng)，但是計(jì)算量極大，隨著采樣精度的提高，計(jì)算量急劇變大，無(wú)法滿足實(shí)際需要?，F(xiàn)有的參數(shù)估計(jì)方法大都基于時(shí)頻二維平面的參數(shù)估計(jì)，在時(shí)頻平面上，線性調(diào)頻信號(hào)是一條直線。最簡(jiǎn)單的時(shí)頻分析方法是短時(shí)傅立葉變換，這種技術(shù)可以使用快速算法，計(jì)算量小，但是受到加窗影響，分辨率不高且抗干擾能力強(qiáng)。這種時(shí)頻分析中，最常用的是 Wigner-Ville分布，線性調(diào)頻信號(hào)在這種分布中具有最好的時(shí)頻聚集性。但是，由于 Wigner-Ville變換是一種

21、雙線性變換，當(dāng)探測(cè)多線性調(diào)頻信號(hào)時(shí)，各信號(hào)之間會(huì)產(chǎn)生交叉項(xiàng)，這給下一步的信號(hào)處理帶來(lái)了很大的困難。另外其他的時(shí)頻分布，如模糊函數(shù)等也因其特有的性質(zhì)越來(lái)越得到人們的重視。1966年，Cohen 對(duì)多種時(shí)頻分布進(jìn)行了概括，將 Wigner-Ville 變成了 Cohen 類中的一種特例，而不同時(shí)頻分布之間僅僅是核函數(shù)的不同。由于線性調(diào)頻信號(hào)在時(shí)頻平面上是一條直線，所以參數(shù)估計(jì)變成了時(shí)頻平面上對(duì)直線的探測(cè)。這些方法主要有 Radon變換，Ho

22、ugh 變換等。但是這些變換由于要在二維空間進(jìn)行</p><p>　　線性調(diào)頻信號(hào)(Linear Frequency Modulated,LFM)作為一種典型的非平穩(wěn)信號(hào)而且具有大的時(shí)間-頻帶積,被廣泛用于各種信息系統(tǒng)。從電子戰(zhàn)和電子干擾的角度看,為解決作用距離和距離分辨率的矛盾以及提高信號(hào)的隱蔽性。通常采用LFM信號(hào)。那么對(duì)于線性調(diào)頻信號(hào)的檢測(cè)和參數(shù)估計(jì),便成為電子戰(zhàn)研究的重點(diǎn),目前常用的LFM信號(hào)檢測(cè)與估計(jì)方

23、法有:線性時(shí)頻表示和雙線性時(shí)頻表示。其代表分別為短時(shí)傅里葉變換、Gabor展開、小波變換、分?jǐn)?shù)階傅里葉變換和Cohen類時(shí)頻分布、Affine類時(shí)頻分布等,但這些方法還存在一些缺陷。基于此,文中在分析相關(guān)解線調(diào),Wigner-Ville分布和Radon變換基礎(chǔ)上提出了Radon-Ambiguity(RAT)變換結(jié)合快速解線調(diào)的新算法,能夠在低信噪比條件下對(duì)信號(hào)進(jìn)行檢測(cè),提高了LFM信號(hào)檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)的速度和精度。</p>

24、<p>　　Radon變換是J.Radon于1917年提出的。在Fourier變換及它們對(duì)應(yīng)的卷積可以快速計(jì)算之前，Radon變換的計(jì)算幾乎沒(méi)有引起人們的興趣?，F(xiàn)在，Radon變換已成為醫(yī)學(xué)成像和其他許多遙感成像等的主要工具而受到廣泛重視。</p><p>　　1962年，P.Hough又從圖像特征檢測(cè)的角度提出了Hough變換。由于以直線圖行為特征的Hough變換與Radon變換相當(dāng)，所以在有些文獻(xiàn)里

25、，也稱Radon-Wigner變換為Wigner-Hough變換。</p><p>　　1.1.2 Radon變換相關(guān)應(yīng)用</p><p>　　兩維情況下Radon變換大致可以這樣理解：一個(gè)平面內(nèi)沿不同的直線對(duì)f（x，y）做線積分，得到的像F(d,alfa)就是函數(shù)f的Radon變換。也就是說(shuō)，平面（d，alfa）的每個(gè)點(diǎn)的像函數(shù)值對(duì)應(yīng)了原始函數(shù)的某個(gè)線積分值。一個(gè)更直觀的理解是，假設(shè)你的

26、手指被一個(gè)很強(qiáng)的平行光源透射，你迎著光源看到的手指圖像就是手指的光衰減系數(shù)的三維Radon變換在給定方向的時(shí)候的值， </p><p>　　一個(gè)最簡(jiǎn)單而直接的應(yīng)用就是拿來(lái)檢測(cè)圖像里面含有的直線成分，很顯然地，任何直線都會(huì)導(dǎo)致Radon像在該直線對(duì)應(yīng)（d，alfa）處的極值。 </p><p>　　具體的CT斷層影像重建算法當(dāng)中其實(shí)沒(méi)怎么用到Radon變換，或者說(shuō)Radon變換僅僅只有一點(diǎn)點(diǎn)

27、理論上的意義。原因是：CT機(jī)做掃描：球管發(fā)出X-ray，經(jīng)過(guò)人體，被吸收一部分，進(jìn)入檢測(cè)器隊(duì)列顯然檢測(cè)器讀數(shù)就是人體的x-ray吸收系數(shù)對(duì)相應(yīng)路徑的線積分，所以這樣轉(zhuǎn)一圈下來(lái)再把所有的檢測(cè)器讀數(shù)值按照（d，alfa）的方式排列一下就算完成了某個(gè)被檢測(cè)截面的Radon變換了，這個(gè)過(guò)程是人體和X-rayscaner一起完成的，顯然不干軟件什么事。接下來(lái)，照理說(shuō)是要靠計(jì)算機(jī)把獲得的數(shù)據(jù)做一個(gè)逆Radon變換，就能得到被檢測(cè)截面的X-ray吸收

28、系數(shù)的分布圖像了。CT的圖像其實(shí)就是一個(gè)吸收系數(shù)的圖，類似的B超或者聲納之類的圖像是大致是一個(gè)彈性模量的圖。 </p><p>　　有這樣一個(gè)事實(shí)：把某個(gè)角度坐標(biāo)alfa對(duì)應(yīng)的一“條”Radon值作一個(gè)fourier變換，得到的就是整個(gè)原始被檢測(cè)截面的二維fourier像在某條直線上的值如果把所有角度的Radon值作一維Fourier變換，然后按照合適的角度（alfa）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)把這些一維fourier像值放在頻

29、域平面上，就得到了整個(gè)二維fourier像。這個(gè)其實(shí)直觀上很容易想象其合理性，還是以手指頭為例對(duì)著光源看，從左至右，透光率不同產(chǎn)生明暗的變化，亮暗本身是沿前后方向的積分結(jié)果決定，但是相鄰的亮暗變化卻反應(yīng)了整個(gè)手指截面的從左至右這個(gè)方向上的頻域信息，看到的細(xì)節(jié)越多，頻域的高頻分量越多。 </p><p>　　以上關(guān)于CT其實(shí)是過(guò)分簡(jiǎn)化的描述，只能提供一個(gè)大致的原理。實(shí)際情況會(huì)有些不同，首先檢測(cè)器讀數(shù)是有限空間的，這

30、就是相當(dāng)于理想的投影函數(shù)乘了一個(gè)窗函數(shù)，在頻域內(nèi)窗函數(shù)會(huì)“擴(kuò)散”所以他們頻域做卷積的結(jié)果是頻域的擴(kuò)展。也可以說(shuō)成是，對(duì)于非周期函數(shù)的fourier級(jí)數(shù)在邊界的間斷處只能是平均收斂，“平均”的結(jié)果就是在光滑的地方擬合的很好，在間斷點(diǎn)處發(fā)生振蕩。工程中管這個(gè)叫做吉布斯（Gibbs）效應(yīng)，它告訴我們：用有限項(xiàng)級(jí)數(shù)的和去表示一個(gè)函數(shù)，隨著項(xiàng)數(shù)的增加，振蕩發(fā)生的位置會(huì)越來(lái)越接近間斷點(diǎn)，但是它的擺幅不變另外，檢測(cè)器只能讀出空間上分立的數(shù)值，所謂的取

31、樣過(guò)程就是投影函數(shù)乘一個(gè)迪拉克函數(shù)組成的序列而迪拉克序列變換到頻域仍然是一個(gè)迪拉克序列，只是周期變成了1/L。投影和取樣序列相乘在頻域就是卷積，出來(lái)的結(jié)果就是具有了周期頻譜，顯然可用的只能是原點(diǎn)所在的一個(gè)周期內(nèi)的數(shù)據(jù)。當(dāng)L越來(lái)越小的時(shí)候，頻譜周期越來(lái)越大，空間分辨率越來(lái)越高。當(dāng)L為有限的時(shí)候，分辨率如果用頻率來(lái)表示的話，從原點(diǎn)開始算，由于周期性緣故顯然最高到1/2L處。 </p><p>　　設(shè)想一間黑屋子，唯一

32、的光源是一個(gè)可調(diào)節(jié)頻率的頻閃光源，一臺(tái)電風(fēng)扇。假定光源閃爍頻率為w，顯然理論上能夠檢測(cè)到的風(fēng)扇轉(zhuǎn)速u將允許加上任意整數(shù)個(gè)w。比方說(shuō)，每秒亮一下，你看到了風(fēng)扇轉(zhuǎn)動(dòng)了1/4圈，那么你可以認(rèn)為風(fēng)扇每秒轉(zhuǎn)動(dòng)1/4圈，但也可以是5/4圈，9/4圈...也可以是-3/4圈，-7/4圈...原因就是前面說(shuō)的，用一個(gè)脈沖序列去做取樣，必然會(huì)得到周期性的頻譜。接下來(lái)，當(dāng)光源的閃爍頻率和風(fēng)扇的轉(zhuǎn)速相等的時(shí)候，你將看到風(fēng)扇是停止的，當(dāng)光源頻率高于風(fēng)扇轉(zhuǎn)速的兩

33、倍時(shí)，你才能看到風(fēng)扇正常的轉(zhuǎn)動(dòng)，如果光源頻率介于風(fēng)扇轉(zhuǎn)速一倍和兩倍之間，那你會(huì)看到風(fēng)扇倒著轉(zhuǎn)了。這里的情況被稱為頻譜混疊。此類現(xiàn)象生活中常遇到。另外，函數(shù)變換本身還帶來(lái)了坐標(biāo)平移一類的問(wèn)題。實(shí)際當(dāng)中用的最多的是一種叫做濾波反投影的算法來(lái)實(shí)現(xiàn)斷層重建，說(shuō)穿了關(guān)鍵就針對(duì)以上一些問(wèn)題設(shè)計(jì)合理的濾波器。</p><p>　　1.2非平穩(wěn)信號(hào)分析理論</p><p>　　1.2.1 LFM信號(hào)介紹

34、</p><p>　　LFM 信號(hào)的復(fù)數(shù)表示為</p><p><b>　　(1-1)</b></p><p>　　其中 A(t)表示信號(hào)的包絡(luò)。為矩形窗。是在 t 時(shí)刻信號(hào)的相位。f 表示信號(hào)的初始頻率， k 表示調(diào)頻率，也就是單位時(shí)間內(nèi)頻率的變化量。對(duì)相位作微分，可以得到信號(hào)在t時(shí)刻的頻率為</p><p><

35、b>　　(1-2)</b></p><p>　　可以看到，信號(hào)的瞬時(shí)頻率成線性不斷提高。信號(hào)帶寬為</p><p><b>　　(1-3)</b></p><p><b>　　時(shí)寬帶寬積 D為</b></p><p><b>　　(1-4)</b></p

36、><p><b>　　對(duì)信號(hào)加上噪聲后</b></p><p><b>　　(1-5)</b></p><p>　　由上可以得到 LFM 信號(hào)的頻譜具有以下特點(diǎn)：</p><p>　　第一：具有近似矩形的幅頻特性，時(shí)寬帶寬乘積（BT）值越大，其幅頻特性越接近矩形。</p><p>

37、;　　第二：具有平方律的相頻特性現(xiàn)代信號(hào)處理中多使用離散時(shí)間信號(hào)處理，將 LFM信號(hào)的離散形式如下： </p><p><b>　　(1-6)</b></p><p>　　1.2.2 時(shí)頻分析法</p><p>　　線性調(diào)頻信號(hào)屬于非平穩(wěn)信號(hào)，最直接的研究方法就是采用時(shí)頻分布。事實(shí)上，在已有的線性調(diào)頻信號(hào)的研究方法中，大部分都或者是利用時(shí)頻分

38、布來(lái)進(jìn)行分析，或者是以時(shí)頻分布為基礎(chǔ)，或者以其時(shí)頻分布的最終表現(xiàn)為目的和依據(jù)的。同時(shí)，利用線性調(diào)頻信號(hào)的特有規(guī)律，還可以有針對(duì)性地采用時(shí)頻分布的方法對(duì)其進(jìn)行分析研究。這些方法隨著時(shí)頻分布研究的發(fā)展而不斷改進(jìn)和完善。</p><p>　　非平穩(wěn)信號(hào)分析的研究工作最早始于上世紀(jì) 40 年代，有很多方法可以得到時(shí)頻表示，其中最直接的方法就是假設(shè)信號(hào)在小的時(shí)間段內(nèi)近似平穩(wěn)，然后在每個(gè)時(shí)間段內(nèi)用傅立葉變換分析信號(hào)的局部功率

39、譜。這種方法就是眾所周知的短時(shí)傅立葉變換，在很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)成了非平穩(wěn)信號(hào)分析的一種標(biāo)準(zhǔn)和有力的工具。該方法的主要缺陷是受不確定性的影響，不能同時(shí)得到好的時(shí)間分辨率和好的頻率分辨率。</p><p>　　隨后受到量子力學(xué)中類似方法的啟發(fā)，Gabor 和 Ville 分別提出了著名的 Gabor 變換和 Wigner-Ville 分布，為時(shí)頻分析理論的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。接著 Page和 Rihaczek 分別提出了 Pag

40、e 分布和 Rihaczek 分布。</p><p>　　1966 年，Cohen 利用特征函數(shù)和算子理論將各種形式的時(shí)頻表示方法之間的關(guān)系做了研究，指出包括短時(shí)傅立葉變換譜圖在內(nèi)，所有的二次型分布都可以通過(guò)對(duì) WVD的時(shí)頻二維卷積獲得，因此將它們統(tǒng)稱為 Cohen類時(shí)頻分布，通過(guò)改變不同的核函數(shù)，可以達(dá)到減少或消除交叉項(xiàng)干擾，滿足若干數(shù)學(xué)性質(zhì)的目的。</p><p>　　1.2.3 Ga

41、bor變換</p><p>　　Gabor變換是D.Gabor 1946年提出的。由于經(jīng)典Fourier變換只能反映信號(hào)的整體特性（時(shí)域，頻域）。另外，要求信號(hào)滿足平穩(wěn)條件。</p><p>　　由式可知，要用Fourier變換研究時(shí)域信號(hào)頻譜特性，必須要獲得時(shí)域中的全部信息；另外，信號(hào)在某時(shí)刻的一個(gè)小的鄰域內(nèi)發(fā)生變化，那么信號(hào)的整個(gè)頻譜都要受到影響，而頻譜的變化從根本上來(lái)說(shuō)無(wú)法標(biāo)定發(fā)生變

42、化的時(shí)間位置和發(fā)生變化的劇烈程度。也就是說(shuō)，F(xiàn)ourier變換對(duì)信號(hào)的齊性不敏感。不能給出在各個(gè)局部時(shí)間范圍內(nèi)部頻譜上的譜信息描述。然而在實(shí)際應(yīng)用中齊性正是我們所關(guān)心的信號(hào)局部范圍內(nèi)的特性。如，音樂(lè)，語(yǔ)言信號(hào)等。即：局部化時(shí)間分析，圖形邊緣檢，地震勘探反射波的位置等信息極重要。</p><p>　　為此，D.Gabor1946年在他的論文中提出了一種新的變換方法—Gabor變換。</p><p

43、>　　設(shè)函數(shù)f為具體的高斯函數(shù)，且，則Gabor變換定義為</p><p><b>　　(1-7)</b></p><p>　　其中，，是高斯函數(shù)，稱為窗函數(shù)。其中a>0,b>0.</p><p>　　是一個(gè)時(shí)間局部化的“窗函數(shù)”。其中，參數(shù)b用于平行移動(dòng)窗口，以便于覆蓋整個(gè)時(shí)域。</p><p>&l

44、t;b>　　對(duì)參數(shù)b積分，則有</b></p><p><b>　　(1-8)</b></p><p><b>　　信號(hào)的重構(gòu)表達(dá)式為</b></p><p><b>　　(1-9)</b></p><p>　　Gabor取g(t)為一個(gè)高斯函數(shù)有兩個(gè)原因：一

45、是高斯函數(shù)的Fourier變換仍為高斯函數(shù)，這使得Fourier逆變換也是用窗函數(shù)局部化，同時(shí)體現(xiàn)了頻域的局部化；二是Gabor變換是最優(yōu)的窗口Fourier變換。其意義在于Gabor變換出現(xiàn)之后，才有了真正意義上的時(shí)間－頻率分析。即Gabor變換可以達(dá)到時(shí)頻局部化的目的：它能夠在整體上提供信號(hào)的全部信息而又能提供在任一局部時(shí)間內(nèi)信號(hào)變化劇烈程度的信息。簡(jiǎn)言之，可以同時(shí)提供時(shí)域和頻域局部化的信息。</p><p>

46、;　　經(jīng)理論推導(dǎo)可以得出：高斯窗函數(shù)條件下的窗口寬度與高度，且積為一固定值。</p><p><b>　　(1-10)</b></p><p>　　矩形時(shí)間――頻率窗：寬為，高。</p><p>　　由此，可以看出Gabor變換的局限性：　時(shí)間頻率的寬度對(duì)所有頻率是固定不變的。實(shí)際要求是：窗口的大小應(yīng)隨頻率而變化，頻率高窗口應(yīng)愈小，這才符合實(shí)際

47、問(wèn)題中的高頻信號(hào)的分辨率應(yīng)比低頻信號(hào)的分辨率要低。</p><p>　　1.2.4 模糊函數(shù)</p><p>　　時(shí)頻分布是對(duì)信號(hào)的雙線性變換作關(guān)于變量的Fourier變換，如Wigner-Ville分布，如果對(duì)該雙線性變換關(guān)于時(shí)間t作Fourier反變換，則可得到另一種二維時(shí)頻分布函數(shù)</p><p><b>　　(1-19)</b><

48、/p><p>　　稱為模糊函數(shù)，式中是s(t)的解析信號(hào)。</p><p><b>　　瞬時(shí)相關(guān)函數(shù)</b></p><p><b>　　(1-20)</b></p><p>　　t為時(shí)間，τ為時(shí)延?？梢姡：瘮?shù)可以視為瞬時(shí)相關(guān)函數(shù)關(guān)于的Fourier反變換</p><p>　

49、　＝ (1-21)</p><p>　　對(duì)比模糊函數(shù)和Wigner-Ville分布知，它們都是雙線性變換信號(hào)或瞬時(shí)相關(guān)函數(shù)的某種線性變換，后者變換到時(shí)頻平面，表示能量分布，稱為能量域；而前者則變換到時(shí)延－頻偏平面，表示相關(guān)，稱為相關(guān)域?？梢宰C明，Wigner-Ville分布和模糊函數(shù)是一對(duì)Fourier變換對(duì)：</p><p><b&g

50、t;　　(1-22)</b></p><p>　　模糊函數(shù)具有以下性質(zhì)：</p><p>　　(1)時(shí)移：模糊函數(shù)的模對(duì)時(shí)移不敏感，即有</p><p><b>　　(1-23)</b></p><p>　　(2)頻移：模糊函數(shù)的模對(duì)頻移不敏感</p><p><b>　　(

51、1-24)</b></p><p>　　(3) 濾波：令，則</p><p><b>　　(1-25)</b></p><p>　　(4) 調(diào)制：對(duì)于調(diào)制信號(hào)，其模糊函數(shù)為 </p><p><b>　　(1-26)</b></p><p>　　類似地

52、，可以定義互模糊函數(shù)。</p><p>　　第2章 Radon-Wigner變換原理</p><p>　　用Wigner-Ville分布研究單分量LFM信號(hào)是十分有利的。然而，如果LFM信號(hào)存在多個(gè)分量時(shí)（實(shí)際信號(hào)常如此，同時(shí)存在多個(gè)目標(biāo)），分量之間的交叉項(xiàng)就會(huì)使時(shí)頻平面變得模糊不清，特別是在信噪比不高的場(chǎng)合，甚至難于發(fā)現(xiàn)各個(gè)LFM信號(hào)分量。雖然使用核函數(shù)可對(duì)Wigner-Ville分布交

53、叉項(xiàng)起到平滑抑制作用，但在對(duì)交叉項(xiàng)抑制的同時(shí)，信號(hào)項(xiàng)的時(shí)頻聚集性也會(huì)有所下降；核函數(shù)應(yīng)根據(jù)它所作用的信號(hào)形式及處理的目的進(jìn)行選擇。由于理想LFM信號(hào)的Wigner-Ville分布為直線型沖激函數(shù)，有限長(zhǎng)度的LFM信號(hào)的Wigner-Ville分布為背鰭狀，所以在對(duì)其Wigner-Ville分布的時(shí)頻平面沿相應(yīng)直線作積分平滑，是一種理想選擇。本章討論的Radon-Wigner變換基于此而提出的。它對(duì)信號(hào)的Wigner-Ville分布的時(shí)頻

54、平面作直線積分投影的Radon變換，統(tǒng)稱對(duì)信號(hào)作Radon-Wigner變換。</p><p>　　2.1 Wigner-Ville分布</p><p>　　2.1.1 單分量 LFM 信號(hào)的 Wigner-Ville 分布</p><p>　　Wigner 分布是 Cohen 類時(shí)頻分布最重要的成員，當(dāng) Cohen 類分布的核函數(shù)為φ (τ ,ν ) = 1時(shí)，

55、就簡(jiǎn)化為 Wigner-Ville 分布，Wigner-Ville 分布可以看成信號(hào)能量的自相關(guān)，其定義為：</p><p><b>　　(2-1)</b></p><p>　　Wigner-Ville 分布也可以用信號(hào)頻譜 X ( w) 表示</p><p><b>　　(2-2)</b></p><

56、p>　　對(duì) LFM信號(hào)，設(shè)一個(gè)單分量信號(hào)為，它的 Wigner-Ville分布推導(dǎo)如下：</p><p><b>　　(2-3)</b></p><p>　　可以看到，單分量信號(hào)的 Wigner-Ville分布是一個(gè)沖擊函數(shù)，Wigner-Ville 分布對(duì)線性調(diào)頻信號(hào)具有最理想的時(shí)頻聚集性。在時(shí)頻平面表現(xiàn)為一條直線，信號(hào)在時(shí)間軸的截距為信號(hào)起始頻率；直線斜率為

57、 k，是信號(hào)調(diào)頻率。但在實(shí)際中，積分區(qū)間不可能為無(wú)限長(zhǎng)，WVD將呈現(xiàn)背鰭狀，聚集性有一定的下降。</p><p>　　Wigner-Ville 具有很多優(yōu)良的數(shù)學(xué)性質(zhì), 這些分布特性對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)的分析十分有用，具有很重要的意義：</p><p><b>　　1) 實(shí)值性</b></p><p>　　Wigner-Ville 分布 WVD (t

58、 , w) 是 t 和 w 的實(shí)函數(shù): </p><p><b>　　(2-4) </b></p><p>　　2) 時(shí)移和頻移不變性</p><p><b>　　時(shí)移不變性：</b></p><p><b>　　若，則</b></p><p><

59、b>　　頻移不變性：</b></p><p><b>　　若，則</b></p><p>　　3) 時(shí)間和頻率邊緣特性</p><p>　　Wigner-Ville 分布滿足時(shí)間邊緣特性：</p><p><b>　　(2-5)</b></p><p>&l

60、t;b>　　頻率邊緣特性為：</b></p><p><b>　　(2-6)</b></p><p><b>　　4) 時(shí)頻伸縮性</b></p><p><b>　　(2-7)</b></p><p><b>　　6) 乘積性</b>&

61、lt;/p><p><b>　　(2-8)</b></p><p><b>　　7) 瞬時(shí)頻率性</b></p><p><b>　　(2-9)</b></p><p><b>　　8) 群延遲性</b></p><p><b&g

62、t;　　(2-10)</b></p><p>　　Wigner-Ville 分布滿足許多優(yōu)良的時(shí)頻分布數(shù)學(xué)特性，具有非常好的信號(hào)時(shí)頻聚集性，并且計(jì)算簡(jiǎn)單。因此，在許多應(yīng)用場(chǎng)合，它是一種常用的非平穩(wěn)信號(hào)分析工具。但是它卻不滿足正定條件，雖然滿足實(shí)值性，可是有負(fù)值出現(xiàn)，這并不符合概率意義上的能量聯(lián)合分布是正值的要求。</p><p>　　2.1.2 Wigner 分布中的交叉項(xiàng)&l

63、t;/p><p>　　雖然 Wigner-Ville 分布具有最好的時(shí)頻聚集性，但當(dāng)信號(hào)中有多個(gè)分量時(shí)，不同分量之間會(huì)產(chǎn)生相互作用，產(chǎn)生不需要的干擾，這就是交叉項(xiàng)。</p><p>　　討論最簡(jiǎn)單的兩信號(hào)分量情況：設(shè)有兩個(gè) LFM信號(hào)，。這個(gè)二分量信號(hào)的 Wigner-Ville 分布具有以下形式</p><p><b>　　(2-11)</b>&

64、lt;/p><p>　　可以看到，二分量的 Wigner-Villy 分布產(chǎn)生了四項(xiàng)，其中兩項(xiàng)為對(duì)應(yīng)的單分量信號(hào)的 Wigner-Ville 分布，另外兩項(xiàng)是兩信號(hào)之間產(chǎn)生的結(jié)果，就是交叉項(xiàng)。交叉項(xiàng)的產(chǎn)生與人們對(duì)時(shí)頻分布的理解有出入，雖然它在信號(hào)處理中也有一定作用，但它影響了信號(hào)時(shí)變譜規(guī)律的分辨性能和可解釋性。所以人們寧可以犧牲一定的分辨率為代價(jià)，也要想辦法來(lái)消除它。</p><p>　　2.

65、2 Radon-Wigner變換定義</p><p>　　2.2.1 Radon變換定義</p><p>　　Radon-Wigner變換是一種直線積分的投影變換。作為直線積分變換，在Wigner-Ville分布的性質(zhì)時(shí)已經(jīng)碰到過(guò)，就是Wigner-Ville分布的邊緣積分，若信號(hào)z（t）的Wigner-Ville分布以表示則兩種邊緣積分的公式分別為</p><p>

66、;<b>　　(2-12)</b></p><p><b>　　(2-13)</b></p><p>　　及對(duì)不用的w值平行于t軸的積分，其邊緣積分為信號(hào)的功率譜；對(duì)不同的t值平行于w軸的積分，其邊緣積分為信號(hào)的瞬時(shí)功率。</p><p>　　如圖所示將原直角坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)a角得到新的直角坐標(biāo)（u，v），以不同的u值平行于v軸積

67、分，所得結(jié)果即為Radon變換。</p><p>　　圖 2-1 Radon變換的幾何關(guān)系</p><p>　　由圖可以看出，Radon變換實(shí)際上相當(dāng)于廣義的邊緣積分，也相當(dāng)一種投影積分（對(duì)u積分投影）。</p><p>　　為在一般意義上討論Radon變換，設(shè)在二維平面（t，w）有一二維函數(shù)（如密度函數(shù)）f（t，w），則其Radon變換可寫為</p>

68、<p><b>　　(2-14)</b></p><p>　　利用三角運(yùn)算，容易得出（t，w）與（u，v）兩平面坐標(biāo)之間的關(guān)系為</p><p><b>　　(2-15)</b></p><p>　　將這一關(guān)系式帶入后，得到</p><p><b>　　(2-16)</b

69、></p><p>　　Radon變換P（u）對(duì)一定的轉(zhuǎn)角a是u的函數(shù)（相當(dāng)PQ線平移）。對(duì)不同的a值，P（u）的函數(shù)值是變化的，即他是u和a的二維函數(shù)，故我們用符號(hào)P（u，a）表示f（t，w）的Radon變換。進(jìn)一步的，如果R表示Radon變換算子，則上式可換寫成</p><p><b>　　(2-17)</b></p><p>　　最

70、后一個(gè)等式中積分坐標(biāo)以（u,v）表示，并以u(píng)=u為PQ線在該坐標(biāo)系的表示式。Radon變換更多用于醫(yī)學(xué)圖像等的圖像重構(gòu)，下面作一簡(jiǎn)單介紹。</p><p>　　設(shè)一圖像的平面二維函數(shù)為f（t，w），則其二維Fourier變換為</p><p><b>　　(2-18)</b></p><p>　　容易看出，若能設(shè)法獲得譜函數(shù)，便不難通過(guò)Four

71、ier變換反變換求出原函數(shù)f（t，w）。先看平面中的一條過(guò)原點(diǎn)，傾角為a的直線上的函數(shù)值。</p><p>　　圖 2-2 傾角為的函數(shù)</p><p><b>　　這時(shí)，而上式可寫成</b></p><p><b>　　(2-19)</b></p><p>　　將積分的平面由（t，w）轉(zhuǎn)換到（u，

72、v），上式變?yōu)?lt;/p><p><b>　　(2-20)</b></p><p>　　式中的中括弧內(nèi)的項(xiàng)實(shí)際上就是u為某一定值時(shí)原式的積分Pa（u），因此上式可簡(jiǎn)寫成</p><p><b>　　(2-21)</b></p><p>　　這就是說(shuō)，可由原函數(shù)傾角為a的Radon變換Pa（u）通過(guò)Fo

73、urier變換求得。將傾角a從0度變到180度，則可得到整個(gè)平面的值，不過(guò)得出的是其極坐標(biāo)形式。在實(shí)際應(yīng)用中，u為一組離散值，即得到的也只是離散值。在信號(hào)重構(gòu)時(shí)，可先通過(guò)內(nèi)插法完成極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，然后由的直角坐標(biāo)的離散值重構(gòu)原函數(shù)。</p><p>　　上述圖像重構(gòu)最直接的應(yīng)用是X射線層成像（CT）：一組平行的X射線通過(guò)人體衰減，接收到的是衰減的積分投影，即某一傾角的Radon變換，按照上述步驟不難由0度

74、到180度傾角的Radon變換重構(gòu)人體的層析圖像。</p><p>　　2.2.2 Radon-Wigner變換</p><p>　　上一節(jié)已經(jīng)討論了Radon變換，如果將變換對(duì)象由一般的二維函數(shù)f（t，w）代之以信號(hào)z（t）的Wigner-Ville分布Wz（t，w），則所得Radon變換即是信號(hào)z（t）的Radon-Wigner變換，用符號(hào)Dx(u,a)表示之，由上面的式子容易得到&l

75、t;/p><p><b>　　(2-22)</b></p><p>　　下面介紹Radon-Wigner變換對(duì)于LFM信號(hào)的特殊意義。先討論z(t)為一般信號(hào)的情況，上式表示其Radon-Wigner變換，它是以參數(shù)（u，a）表示的。而在Wigner-Ville分布的時(shí)頻平面里，則習(xí)慣用w軸的截距和斜率m為參數(shù)來(lái)表示直線。因此，當(dāng)需要沿作直線積分時(shí)，可將圖中的積分路徑（直

76、線PQ）和參數(shù)（u，a）替換成（m，），且兩對(duì)參數(shù)之間的關(guān)系為</p><p>　　由前式求信號(hào)z（t）的Radon-Wigner變換，并以參數(shù)（m，w0）表示積分路徑，則有</p><p><b>　　(2-23)</b></p><p>　　上式表明，若z（t）是參數(shù)為和m的LFM信號(hào)，則積分值最大；而當(dāng)參數(shù)偏離與/或m時(shí)，積分值迅速減小，

77、即對(duì)一定的LFM信號(hào)，其Radon-Wigner變換會(huì)在對(duì)應(yīng)的參數(shù)處呈現(xiàn)尖峰。若將積分路徑的直線參數(shù)改用t軸的截距和相對(duì)于w軸的斜率p表述，寫成t=+p的形式，則</p><p>　　參見原圖，利用與前式完全類似的推導(dǎo)，可以用另一種線積分形式書寫信號(hào)z（t）的Radon-Wigner變換</p><p><b>　　(2-24)</b></p><

78、p>　　這是一個(gè)與前式非常相似的線積分，不同的只是前式是關(guān)于時(shí)間t的積分，尺度因子為；而此式則為關(guān)于頻率w的積分，尺度因子為。</p><p>　　信號(hào)z（t）的Radon-Wigner變換除了可用上面兩個(gè)公式表示外，還可以用z（t）的模糊函數(shù)表示。這是，如果用信號(hào)z（t）的形式書寫，則從前式的是第四個(gè)等式直接可得</p><p><b>　　(2-25)</b>

79、;</p><p>　　上式可以等價(jià)解釋為信號(hào)z（t）的模糊函數(shù)通過(guò)平面遠(yuǎn)點(diǎn)的“切片”的Fourier變換。</p><p>　　Radon-Wigner變換通過(guò)Wigner-Ville分布和Radon變換二者的結(jié)合，提供了信號(hào)處理技術(shù)與圖像處理技術(shù)之間的聯(lián)系橋梁。例如，它可以將信號(hào)檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)轉(zhuǎn)化為圖像中直線的檢測(cè)問(wèn)題。</p><p>　　2.3 Radon-

80、Wigner變換性質(zhì)</p><p>　　2.3.1 基本性質(zhì)</p><p>　　現(xiàn)在討論Radon-Wigner變換的一些基本性質(zhì)，為了討論方便，我們令f（t）個(gè)g（t）為任意信號(hào)，F(xiàn)（w）和G(w)分別是他們的Fourier變換，Df（u，a）和Gg（u，a）分別是f（t）和g（t）的Radon-Wigner變換。而R[]和W[]則分別代表Radon算子和Wigner-Ville分布

81、算子。</p><p><b>　　線性特性</b></p><p>　　雖然Radon變換是線性的，但是Wigner-Ville分布是雙線性的，這是因?yàn)?lt;/p><p><b>　　(2-26)</b></p><p>　　式中的稱為信號(hào)f和g的互Radon-Wigner變換，且Wigner-Vi

82、lle分布的交叉項(xiàng)定義為</p><p><b>　　(2-27)</b></p><p>　　前式揭示了Radon-Wigner變換的雙線性性質(zhì)，類似于Wigner-Ville分布，信號(hào)之和的Radon-Wigner變換也包含了信號(hào)項(xiàng)和交叉項(xiàng)。</p><p>　　信號(hào)之和f+g的Radon-wigner變換的信號(hào)項(xiàng)（u，a）和（u，a）可以

83、利用時(shí)域解線調(diào)公式和頻域解線調(diào)公式有效計(jì)算；交叉項(xiàng)（u，a）和Dgf（u，a）也可以通過(guò)解線調(diào)計(jì)算。注意到</p><p><b>　　(2-28)</b></p><p>　　用互相關(guān)函數(shù)代替自相關(guān)函數(shù)，并使用時(shí)域解線調(diào)完全類似的推導(dǎo)，我們即可得到與前式類似的計(jì)算互Radon-wigner變換項(xiàng)的時(shí)域解線調(diào)公式：</p><p><b&

84、gt;　　(2-29)</b></p><p>　　類似的，我們還可以得到與前式類似的計(jì)算互Radon-wigner變換項(xiàng)的頻域解線調(diào)公式：</p><p><b>　　(2-30)</b></p><p>　?。?）時(shí)移和頻移特性</p><p>　　根據(jù)Wigner-Ville分布的移不變特性，信號(hào)的平移

85、將在時(shí)頻平面上產(chǎn)生相應(yīng)的平移，但在Radon變換中的情況有所不同；因?yàn)镽adon變換以u(píng)和a為變量，所以對(duì)于時(shí)頻平面內(nèi)任何t和w的平移，我們均可通過(guò)改變u的值使其積分不變，即有：</p><p><b>　　(2-31)</b></p><p>　　式中t1和w1分別代表積分路徑的水平移動(dòng)和垂直移動(dòng)，于是我們有</p><p><b>

86、;　　(2-32)</b></p><p>　　也就是，說(shuō)信號(hào)的時(shí)移和頻移只是在Wigner時(shí)頻平面里作Radon-wigner變換時(shí)使積分路徑u發(fā)生平移，而并不改變a的值。一些只與旋轉(zhuǎn)角度a有關(guān)的統(tǒng)計(jì)量（如每一個(gè)投影的極大值和譜的平坦性）對(duì)小的信號(hào)時(shí)移或頻率調(diào)制是不敏感的。</p><p><b>　?。?）投影特性</b></p><

87、;p>　　如果和分別是信號(hào)f（t）的Wigner-Ville分布，模糊函數(shù)和Radon-wigner變換，則</p><p><b>　　(2-33)</b></p><p>　　式中，和的極坐標(biāo)表示。</p><p>　　上式被稱為投影切片定理。用文字?jǐn)⑹觯摱ɡ碚f(shuō)的是：以某一角度a從Radon-wigner變換切得的切片和用與頻率滯后

88、軸所夾的角度a通過(guò)模糊平面原點(diǎn)切得的切片之間存在著Fourier變換關(guān)系。由于模糊函數(shù)是Wigner-ville分布的二維Fourier變換，所以Wigner-ville分布，模糊函數(shù)和Radon-wigner變換之間存在密切的關(guān)系，如下圖所示。</p><p>　　圖 2-3 幾種變換的幾何關(guān)系</p><p>　　圖中還表示出了利用Radon反變換由重構(gòu)的方法：</p>

89、<p><b>　　(2-34)</b></p><p>　　式中，是函數(shù)g對(duì)u的一階偏導(dǎo)，H[x]是函數(shù)x的Hilbert變換，而B（y）是函數(shù)y的反投影算子。更具體的，上式可以寫作</p><p><b>　　(2-35)</b></p><p>　　模糊平面的乘法給出Radon-wigner域的卷積，即&l

90、t;/p><p><b>　　(2-36)</b></p><p>　　式中的表示相對(duì)于u的卷積，卷積函數(shù)h（u）是的傅里葉反變換，其結(jié)果為</p><p><b>　　(2-37)</b></p><p>　　從數(shù)值穩(wěn)定性考慮，斜坡函數(shù)一般是寬度有限，并具有矩形窗，即取</p><

91、p><b>　　(2-38)</b></p><p>　　前式通常稱為濾波反投影，即由Radon-wigner變換經(jīng)h（u）濾波后進(jìn)行反投影運(yùn)算，即可得到原來(lái)的Wigner-ville分布。其中，反投影濾波器h（u）是一個(gè)如上式所示的矩形加窗的微分算子。</p><p><b>　?。?）卷積特性</b></p><p&

92、gt;　　考慮兩個(gè)函數(shù)在Radon-wigner域的卷積。由投影切片定理，函數(shù)f（t）和g（t）在Radon-wigner域的對(duì)u的一維卷積產(chǎn)生在時(shí)頻平面的二維卷積，即有</p><p><b>　　(2-39)</b></p><p>　　如果對(duì)于所有a不是函數(shù)，則徑向卷積給出不同Cohen類變換的Radon變換。因此，利用上式右邊的二維卷積，我們就可以由Wigne

93、r-ville分布和給定的核函數(shù)計(jì)算不同的Cohen類變換，從而其Radon變換可以用D（u，a）的一維卷積計(jì)算得到。</p><p><b>　　（5）遮隔特性</b></p><p>　　在本節(jié)的第（1）部分已經(jīng)指出，多分量LFM信號(hào)的Radon-wigner變換仍然存在交叉項(xiàng)，但信號(hào)項(xiàng)呈現(xiàn)尖峰，所以交叉項(xiàng)和信號(hào)項(xiàng)容易被區(qū)分。通過(guò)加閾值或其他方法實(shí)現(xiàn)交叉項(xiàng)的遮隔，

94、可有效應(yīng)用于檢測(cè)或分離信號(hào)。一個(gè)Radon-wigner變換與一個(gè)遮隔m（u，a）相乘將在模糊平面產(chǎn)生一個(gè)徑向卷積，即</p><p><b>　　(2-40)</b></p><p>　　這表明，如果在Radon-wigner域沿u作很窄的遮隔，則在模糊域沿𝝀的響應(yīng)將被展寬。</p><p>　　2.3.2 運(yùn)算法則</

95、p><p>　　如前面所述，LFM信號(hào)是一種應(yīng)用十分廣泛的信號(hào)，對(duì)它的處理早就有比較系統(tǒng)的研究，例如在白噪聲中的LFM信號(hào)檢測(cè)就是主要問(wèn)題之一。由信號(hào)檢測(cè)理論知道，白噪聲中信號(hào)的最佳檢測(cè)方法是匹配濾波，但在LFM信號(hào)參數(shù)和m未知情況下，無(wú)法設(shè)置固定的匹配濾波器。本質(zhì)上，這是一個(gè)二維搜索優(yōu)化問(wèn)題，但可以分離進(jìn)行，采用“解線調(diào)”方法，這相當(dāng)于對(duì)m作搜索。其實(shí)，解線調(diào)與Radon-wigner變換有著密切的關(guān)系，本節(jié)將對(duì)此

96、作比較詳細(xì)的討論，推導(dǎo)Radon-wigner變換的計(jì)算公式。</p><p>　　連續(xù)LFM信號(hào)的解線調(diào)</p><p>　　先介紹連續(xù)LFM信號(hào)的解線調(diào)。令z（t）是一個(gè)由前式描述的單分量連續(xù)線性調(diào)頻信號(hào)z（t）。所謂解線調(diào)就是解除z（t）的線性調(diào)制，而將z（t）變成單頻率信號(hào)。從參數(shù)估計(jì)角度來(lái)看問(wèn)題，解線調(diào)就是估計(jì)信號(hào)z（t）的兩個(gè)參數(shù)—起始頻率和調(diào)頻斜率m。解線調(diào)可以在時(shí)域進(jìn)行，也

97、可以在頻域進(jìn)行，他們分別稱為時(shí)域解線調(diào)和頻域解線調(diào)。</p><p>　　時(shí)域解線調(diào)的原理十分簡(jiǎn)單。我們暫且假定LFM信號(hào)z（t）的m值為已知的，并用與信號(hào)相乘，于是立即有</p><p><b>　　(2-41)</b></p><p>　　即變成了單頻信號(hào)，其頻率等于起始頻率w0。實(shí)際的m值是未知的，我們可用m為變量，搜索計(jì)算的相關(guān)函數(shù)和功

98、率譜（它們均是m的函數(shù)），則相關(guān)函數(shù)為</p><p><b>　　(2-42)</b></p><p><b>　　功率譜為</b></p><p><b>　　(2-43)</b></p><p>　　式中為的Fourier變換即頻譜。</p><p&g

99、t;　　不難想象，若以為坐標(biāo)畫出的功率譜，則其圖形中峰值點(diǎn)的坐標(biāo)w0和m分別是LFM信號(hào)z（t）的起始頻率和調(diào)頻斜率。換句話說(shuō)，如果把w0和m視為兩個(gè)需要搜索的變量，我們就可以利用前式對(duì)所有可能的w0和m值計(jì)算的功率譜，其峰值坐標(biāo)給出單分量LFM信號(hào)的起始頻率和調(diào)頻斜率。因?yàn)閣0可由Fourier變換進(jìn)行搜索，其運(yùn)算量比較小，如果z（t）是多分量LFM信號(hào)</p><p><b>　　(2-44)<

100、;/b></p><p>　　則在二維平面上會(huì)有p個(gè)峰值，對(duì)應(yīng)的p組坐標(biāo)給出p個(gè)調(diào)頻分量的起始頻率和調(diào)頻斜率。</p><p>　　有趣的是，前式的總括號(hào)內(nèi)的積分就是z（t）的Wigner-ville分布的“切片”（直線方程）。于是，該式可寫成</p><p><b>　　(2-45)</b></p><p>　　

101、這就是所謂的“時(shí)域解線調(diào)”公式。令我們更加感興趣的是，時(shí)域解線調(diào)可以同Radon-wigner變換聯(lián)系起來(lái)，因?yàn)橛汕懊娴氖阶涌梢郧蟪鰖（t）的Radon-wigner變換如下：</p><p><b>　　(2-46)</b></p><p>　　上式的意義有兩點(diǎn)：它不僅說(shuō)明了Radon-wigner變換完成解線調(diào)的二維搜索，而且還啟迪了一種計(jì)算Radon-wigne

102、r變換的方法。由于信號(hào)z（t）的時(shí)域解線調(diào)的模平方與z（t）的Radon-wigner變換只相差一個(gè)尺度因子，因此z（t）的Radon-wigner變換可以用其時(shí)頻解線調(diào)直接計(jì)算，這要簡(jiǎn)單得多。不過(guò)，需要注意的是，當(dāng)時(shí)，上式中的參數(shù)，所以在這類情況下上式不能使用，另外需要指出的是，只有當(dāng)LFM信號(hào)無(wú)限延長(zhǎng)時(shí)，它才會(huì)在（u，a）平面的相應(yīng)參數(shù)處表現(xiàn)為沖擊脈沖函數(shù)。若信號(hào)長(zhǎng)度有限，則該沖擊脈沖函數(shù)會(huì)被展寬，也會(huì)有旁瓣，這與單頻信號(hào)的譜分析相

103、類似。這一點(diǎn)在多分量LFM信號(hào)分析中必須予以考慮。</p><p>　　離散LFM信號(hào)的解線調(diào)</p><p>　　從上一小節(jié)建立的連續(xù)LFM信號(hào)的解線調(diào)公式可以推導(dǎo)出離散LFM信號(hào)的解線調(diào)有限長(zhǎng)度，方法是由求和代替積分。定義離散信號(hào)f（n）的時(shí)變自相關(guān)函數(shù)為</p><p><b>　　(2-47)</b></p><p&

104、gt;　　式中，和Z=整數(shù)集，。使用這種定義，即可將離散自相關(guān)函數(shù)表現(xiàn)為瞬時(shí)自相關(guān)函數(shù)的時(shí)間求和</p><p><b>　　(2-48)</b></p><p><b>　　考慮上式的離散形式</b></p><p><b>　　(2-49)</b></p><p>　　將前

105、式中的函數(shù)f代之以，并取兩邊的Fourier變換，則有</p><p><b>　　(2-50)</b></p><p>　　注意，上式左邊是離散信號(hào)的功率譜，它等于的Fourier變換幅值的平方；而上式右邊經(jīng)應(yīng)用卷積的性質(zhì)后，直接等于，故上式可化簡(jiǎn)為：</p><p><b>　　(2-51)</b></p>

106、<p>　　其中，是離散信號(hào)z（n）的擴(kuò)展的離散時(shí)間Wigner-ville分布，上式稱為離散信號(hào)的時(shí)域解線調(diào)，他可以看做是連續(xù)信號(hào)的時(shí)域解線調(diào)公式的離散形式。</p><p>　　類似的，從上一小節(jié)建立的連續(xù)LFM信號(hào)的解線調(diào)公式可以推導(dǎo)出離散LFM信號(hào)的解線調(diào)有限長(zhǎng)度，方法是由求和代替積分。定義離散信號(hào)f（n）的時(shí)變自相關(guān)函數(shù),可以推導(dǎo)離散信號(hào)的時(shí)域解線調(diào)公式?？紤]前式的離散形式</p&g

107、t;<p><b>　　(2-52)</b></p><p>　　第3章 基于RAT變換的LFM信號(hào)檢測(cè)原理</p><p><b>　　3.1概述</b></p><p>　　LFM信號(hào)的模糊函數(shù)通過(guò)模糊域的原點(diǎn)，使信號(hào)的檢測(cè)變?yōu)閮纱我痪S的搜索，大大減少了計(jì)算量。同時(shí) Radon-Ambiguity 變換

108、擁有比 Radon-Wigner 變換更高的精確度。但是 Radon-Ambiguity 變換只能檢測(cè)到 LFM 信號(hào)的調(diào)頻率，無(wú)法直接檢測(cè)到初始頻率。</p><p>　　3.1.1 Radon變換</p><p>　　Radon變換是Radon J于1917年提出的。假設(shè)A(t,f)為平面(t,f)上的二維函數(shù)，將原直角坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)角度a得到新的坐標(biāo)系(u,a)，以不同的u值平行于v軸積

109、分，所得結(jié)果即為Radon變換，其表達(dá)式為</p><p><b>　　(3-1)</b></p><p>　　Radon變換實(shí)際上在平面(t,f)上的直線投影積分，變換后平面(u,a)上的每一個(gè)點(diǎn)都唯一地確定平面(t,f)上的一條直線,兩者是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。</p><p>　　3.1.2 Radon-Ambiguity變換</p>

110、<p>　　由AF的性質(zhì)可知，LFM信號(hào)的AF在模糊平面上為通過(guò)原點(diǎn)的斜直線且滿足調(diào)頻斜率，其示意圖如圖3-1所示。因此，可以將AF和Radon變換結(jié)合起來(lái)對(duì)LFM信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)。文獻(xiàn)曾提出的復(fù)信號(hào)s（t）的RAT定義為</p><p><b>　　(3-2)</b></p><p>　　文獻(xiàn)曾提出的LFM信號(hào)檢測(cè)和調(diào)頻斜率估計(jì)方法為：先計(jì)算信號(hào)

111、的RAT，然后搜索RAT譜最大峰對(duì)應(yīng)的角度，則LFM信號(hào)調(diào)頻斜率為K=tan（）。由于信號(hào)的起始頻率對(duì)AF的形狀沒(méi)有影響，直接用RAT難以估計(jì)LFM信號(hào)的起始頻率。為了估計(jì)LFM信號(hào)的其它參數(shù)，本文結(jié)合解線調(diào)技術(shù)提出了基于RAT的LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)的改進(jìn)方法：先用RAT估計(jì)LFM信號(hào)的調(diào)頻斜率；然后根據(jù)構(gòu)造解線調(diào)參考信號(hào)并將之與信號(hào)s（t）相乘得到S（t），此時(shí)S（t）已經(jīng)被校正為一個(gè)單頻信號(hào)；再對(duì)S（t）進(jìn)行，F(xiàn)ourier變換以估計(jì)

112、LFM信號(hào)的起始頻率和幅度。與LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)常用的RWT相比，用RAT對(duì)LFM信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)只需要計(jì)算通過(guò)模糊域原點(diǎn)的Radon變換且只需要進(jìn)行一維搜索，而RWT卻需要進(jìn)行整個(gè)時(shí)頻域的Radon變換和二維搜索。顯然，應(yīng)用本文提出的改進(jìn)方法能用較少的計(jì)算量完成對(duì)LFM信號(hào)的檢測(cè)和全部參數(shù)的估計(jì)</p><p>　　圖 3-1 （a）雙分量LFM信號(hào)的的WVD （b）雙分量LFM信號(hào)的AF</p&g

113、t;<p>　　3.2 基于Radon-Ambiguity變換的多分量LFM信號(hào)檢測(cè)算法</p><p>　　用上一節(jié)提出的改進(jìn)方法對(duì)LFM信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)時(shí)，在單分量條件下可以得到較好的效果。但在多分量條件下，LFM分量之間的交叉項(xiàng)將嚴(yán)重影響LFM分量的檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)，弱分量很容易被強(qiáng)分量的交叉項(xiàng)所掩蓋。盡管可以通過(guò)加核函數(shù)或平滑的方法在一定程度上抑制交叉項(xiàng)，但其分辨力也隨之下降。為此，本文

114、結(jié)合逐次消去思想提出了一種基于RAT的多分量LFM信號(hào)的檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)實(shí)用算法。具體的處理步驟如下：</p><p>　　設(shè)i = 1（i為搜索LFM分量個(gè)數(shù)），s(n)為信號(hào)序列，序列長(zhǎng)度為N0，采樣周期為Ts；</p><p>　　計(jì)算s(n)的RAT譜，并求模得到；</p><p>　　對(duì)進(jìn)行一維搜索得到最大值對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角，則第i個(gè)LFM分量的調(diào)頻斜率為。其中

115、，f和分別為AF的頻率采樣間隔和時(shí)延采樣間隔；</p><p>　　構(gòu)造解線調(diào)參考信號(hào)，并將其與信號(hào)s(n)相乘得到；此時(shí)第i個(gè)LFM分量被校正為頻率為的單頻分量，而其它分量相當(dāng)于在模糊域旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，仍然為L(zhǎng)FM信號(hào)；</p><p>　　計(jì)算的Fourier變換s(m)，并搜索最大峰的位置和峰值，則該LFM分量的參數(shù)為：起始頻率；幅度。其中，為Fourier變換頻譜間隔；</p&

116、gt;<p>　　在頻域構(gòu)造一個(gè)中心頻率為的頻帶極窄的帶阻濾波器，并對(duì)進(jìn)行濾波；經(jīng)濾波處理后，中第i個(gè)分量被濾除而對(duì)其它分量的影響不大；</p><p>　　將濾波后的信號(hào)乘以解線調(diào)參考信號(hào)，將其它分量校正為原來(lái)的形式，從而得到第i個(gè)分量被濾除的回波信號(hào)；</p><p>　　置i = i + 1，重復(fù)步驟（2）~（7），直到檢測(cè)不出明顯的LFM分量為止。</p>