大學數(shù)學畢業(yè)論文---定積分思想的理論延拓及應用

1、<p>　　本科畢業(yè)論文(設計)</p><p>　　題目： 定積分思想的理論延拓及應用</p><p>　　學 院 </p><p>　　專 業(yè) </p><p>　　班 級 </p

2、><p>　　學 號 </p><p>　　姓 名 </p><p>　　指導教師 </p><p><b>　　二Ｏ一一年 五月</b></p><p>　　定積

3、分思想的理論延拓及應用</p><p><b>　　xxx</b></p><p>　　內(nèi)容摘要： 一直以來定積分問題就是大學數(shù)學學習的重點，也是研究生入學考試重點考察的內(nèi)容之一，所以本文對定積分的起源、發(fā)展以及它在數(shù)學、幾何學、物理學、經(jīng)濟學等學科的應用做了重點研究。幷利用一些例題對這些問題做除了詳細解析。</p><p>　　關鍵詞： 定積

4、分 柯西 微分 方程 物理 幾何 經(jīng)濟 變量</p><p><b>　　一、定積分的概念</b></p><p><b>　　1.1定積分的定義</b></p><p>　　一般地，設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點</p><p>　　將區(qū)間等分成個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為（），在每個小區(qū)間上取一點，作

5、和式：</p><p>　　如果無限接近于（亦即）時，上述和式無限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分．記為： </p><p>　　其中成為被積函數(shù)，叫做積分變量，為積分區(qū)間，積分上限，積分下限．</p><p>　　說明：（1）定積分是一個常數(shù)，即無限趨近的常數(shù)（時）稱為，而不是．</p><p>　?。?）用定義求定

6、積分的一般方法是：</p><p><b>　?、俜指睿旱确謪^(qū)間；</b></p><p><b>　?、诮拼妫喝↑c；</b></p><p><b>　?、矍蠛停?；</b></p><p><b>　?、苋O限：</b></p><

7、;p>　　（3）曲邊圖形面積：；變速運動路程；</p><p><b>　　變力做功 </b></p><p>　　1.2定積分的幾何意義 </p><p>　　如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線（），和曲線所圍成的曲邊梯形的面積．</p><p>　　說明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)

8、的圖形以及直線之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號，在軸下方的面積去負號． </p><p>　　分析：一般的，設被積函數(shù)，若在上可取負值．</p><p><b>　　考察和式</b></p><p><b>　　不妨設</b></p><p><b>　　于是和式即為</

9、b></p><p>　　陰影的面積—陰影的面積（即軸上方面積減軸下方的面積）</p><p><b>　　1.3定積分的性質(zhì)</b></p><p><b>　　性質(zhì)1 </b></p><p>　　性質(zhì)2 （其中k是不為0的常數(shù)） （定積分的線性性質(zhì)）</p><

10、p>　　性質(zhì)3 （定積分的線性性質(zhì)）</p><p>　　性質(zhì)4 （其中a<c<b）</p><p>　　1.4用定積分求解簡單的問題</p><p>　　1.4.1 求立體圖形的體積用類似求圖形面積的思想我們也可以求一個立體圖形的體積,常見的已知幾何體的截面積求幾何體的體積,另一種是求旋轉(zhuǎn)體的體積,解此類題常用的方法是我們將

11、此物體劃分成許多基本的小塊,每塊的厚度為,假設每一個基本的小塊橫截面積為A（x）,則此小塊的體積是A(x),將所有的小塊加起來，另，我們可以得到其體積v=lim其中 a和 b分別為計算體積的起始值和終了值. 下面來看幾個例題</p><p>　　例1 求橢圓面所圍立體的體積</p><p>　　解：以平面)截橢球面,得橢圓在YOZ平面上的正投影</p><p&

12、gt;　　所以截面面積函數(shù)為 </p><p><b>　　于是求得橢球體積</b></p><p>　　顯然當=r 時,就等于球的體積</p><p>　　1.4.2定積分在初等數(shù)學里的應用</p><p>　　近些年來，定積分還越來越多的被廣泛應用到初等數(shù)學中的一些問題上來，下面來討論一下定積分在證明不等式，等

13、式和一些數(shù)列的極限的方面的應用</p><p><b>　　證明不等式</b></p><p>　　運用積分來證明不等式，一般要利用到積分的如下性質(zhì)：設與都在上可積且；則特別的當時，有</p><p>　　例2 證明貝努利不等式 已知且且</p><p><b>　　求證：</b></p&g

14、t;<p>　　證明：若或且時， 。因此 即為。若或且時因此 由此可得。</p><p>　　綜合以上可得：當時，且 且 時有</p><p>　　由上面的證明我們可以推廣，去掉條件時，結(jié)論仍然成立．所以，我們可以得到一個一般的結(jié)論</p><p><b>　　設 則若時，有</b></p><p

15、><b>　　若或時，有</b></p><p>　　當且僅當時，兩式中的等號成立</p><p>　　例3．已知是實數(shù)，并且，其中是自然對數(shù)的底，證明</p><p>　　證明：當時，要證明，只要證明 既要證明 時，因為 從而</p><p>　　所以當時， 于是得到</p><p&g

16、t;　　求和：根據(jù)微分與積分互為逆運算的關系,先對和式積分,利用已知數(shù)列的和式得到積分和,再求導即可.</p><p>　　二、定積分在幾何中的應用</p><p>　　2.1定積分的微元法</p><p>　　定積分的應用很廣，僅介紹它在幾何方面和物理方面的一些應用．首先說明一種運用定積分解決實際問題時常用的方法——將所求量表達成為定積分的分析方法——微元法（或元

17、素法）.</p><p>　　在將具體問題中所求的量（如曲邊梯形的面積，變速直線運動的路程）表達成定積分：</p><p>　　時，總是把所求量看作是與變量的變化區(qū)間相聯(lián)系的整體量．當把區(qū)間劃分為若干小區(qū)間時，整體量就相應地分為若干部分量，而整體量等于各部分量之和，這一性質(zhì)稱為所求量對于區(qū)間具有可加性.</p><p>　　劃分區(qū)間后，在各部分區(qū)間上，求出部分量的近

18、似表達式，由可加性，總量的近似值可以表達成和式（由于點任意選取時，和式極限有確定的值，常取為區(qū)間的左端點），從而這個和式的極限就是所求量的精確值，于是由定積分的定義，總量可用定積分來表達</p><p>　　一般地，如果某一實際問題中所求量滿足以下條件：</p><p>　　是與變量的變化區(qū)間有關的量，且對于該區(qū)間具有可加性，所求量就可用定積分來計算.具體步驟如下：</p>

19、<p>　?。?）確定積分變量，并求出相應的積分區(qū)間</p><p>　?。?）在區(qū)間上任取一小區(qū)間，并在該小區(qū)間上找出所求量的微元</p><p>　?。?）寫出所求量的積分表達式，然后計算它的值.</p><p>　　這里通常稱為所求量的微分（或元素），這種直接在小區(qū)間上找積分表達式從而得出定積分表達式的方法，通常稱為微元法（或元素法）.</p&

20、gt;<p>　　2.2定積分求解平面圖形面積</p><p>　　2.2.1直角坐標情形</p><p>　　根據(jù)定積分的幾何意義，由區(qū)間連續(xù)曲線、、及直線所圍成的平面圖形的面積A，由定積分的性質(zhì)，此式可寫為</p><p>　　(利用微元法求解可得同樣的結(jié)果)</p><p><b>　　其中d就是面積元素<

21、/b></p><p>　　2.2.2極坐標情形 </p><p><b>　　圖 5-17</b></p><p>　　某些平面圖形，用極坐標計算它們的面積比較方便．用微元法計算：由極坐標方程所表示的曲線與射線所圍成的曲邊扇形面積（圖5-17）．</p><p>　　以極角為積分變量，積分區(qū)間為，在上任取一小

22、區(qū)間，與它相應的小曲邊扇形面積近似于以為圓心角．為半徑的圓扇形面積，從而得到面積元素于是所求面積為</p><p>　　例4 計算心形線所圍成的平面圖形的面積（圖5-18）．</p><p>　　解：由于圖形對稱于極軸，只需算出極軸以上部分面積，再2倍即得所求面積A．</p><p>　　對于極軸以上部分圖形，的變化區(qū)間為．相應于上任一小區(qū)間的窄曲邊扇形的面積近似

23、于半徑為、圓心角為的圓扇形的面積．從而得到面積元素</p><p><b>　　圖 5-18</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　得 =</b></p><p><b>　　= =</b></p>

24、<p><b>　　=</b></p><p><b>　　所以，所求面積為</b></p><p>　　2.3用定積分求解圖形體積</p><p>　　2.3.1旋轉(zhuǎn)體的體積</p><p>　　設一旋轉(zhuǎn)體是由曲線與直線、及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成（圖5-19）．現(xiàn)用微元法求它

25、的體積．</p><p>　　在區(qū)間上任取，對應于該小區(qū)間的小薄片體積近似于以為半徑，以為高的薄片圓柱體體積，從而得到體積元素為</p><p><b>　　圖 5-19</b></p><p>　　從a到b積分，得旋轉(zhuǎn)體體積為</p><p>　　類似地，若旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線與直線及y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成，則其

26、體積為</p><p>　　例5 求橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積（圖5-20）．</p><p><b>　　圖 5-20</b></p><p><b>　　解 將橢圓方程化為</b></p><p><b>　　體積元素為</b></p><p&g

27、t;<b>　　所求體積為 =</b></p><p>　　當a=b=R時，得球體積V=</p><p>　　2.3.2平行截面面積為已知的立體的體積</p><p>　　從計算旋轉(zhuǎn)體體積的過程中可以看出：如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面的面積，那么，這個立體的體積也可以用定積分計算．</p>&l

28、t;p><b>　　圖5-22</b></p><p>　　如圖5-22所示，取上述定軸為x軸，并設該立體在過點x=a、x=b且垂直于x軸的兩個平面之間，以A(x)表示過點x且垂直于x軸的截面面積．A(x)為x的已知的連續(xù)函數(shù)．</p><p>　　取x為積分變量，它的變化區(qū)間為．立體中相應于上任一小區(qū)間的薄片的體積，近似于底面積為A(x)、高為dx的扁柱體的體

29、積，即體積元素</p><p>　　于是所求立體的體積為</p><p>　　例6 一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角（圖5-23）．計算這個平面截圓</p><p><b>　　柱所得立體的體積．</b></p><p>　　解： 取這平面與圓柱體的底</p><p>　　面的

30、交線為x軸，以過底圓中心且垂直x軸的直線為y軸．此時，底圓的方程為</p><p><b>　?。Ⅲw中過點</b></p><p>　　x且垂直于x軸的截面是直</p><p>　　角三角形．它的兩條直角</p><p>　　邊的長度分別為，即．于是截面面積為</p><p><b>

31、　　圖 5-23</b></p><p><b>　　因此所求立體體積為</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　三．定積分在經(jīng)濟學中的應用</p><p>　　3.1常見的經(jīng)濟學中的函數(shù)</p><p><b>　　3.1.

32、1需求函數(shù)</b></p><p>　　需求量是指在特定時間內(nèi)，消費者打算并能夠購買的某種商品的數(shù)量，用Q 表示，它與商品價格P 密切相關，通常降低商品價格使需求量增加；提高商品價格會使需求量減少.</p><p>　　如果不考慮其它因素的影響（或其它因素不變），則Q 是P 的函數(shù)，稱為需求函數(shù)，記作</p><p><b>　　Q = f (

33、P)</b></p><p>　　它通常是一個單調(diào)減少函數(shù).</p><p>　　常見的需求函數(shù)有以下幾種類型：</p><p>　　1. 線性需求函數(shù)Q = a + bP (a > 0,b > 0)</p><p>　　2. 二次需求函數(shù)Q = a ? bP ? (a > 0,b > 0,c > 0

34、)</p><p>　　3. 指數(shù)需求函數(shù) (a > 0,b > 0)</p><p>　　有時也把Q = f (P)的反函數(shù)P = f ?1 (Q)也稱為需求函數(shù).</p><p><b>　　3.1.2供給函數(shù)</b></p><p>　　供給量是指在特定時間內(nèi)，廠商愿意并能夠出售的某種商品的數(shù)量，用S

35、表示，假設</p><p>　　除了商品的價格P 外影響供給的其它因素均不變，則S 是P 的函數(shù)</p><p><b>　　S = g(P)</b></p><p>　　它通常是一個單調(diào)增函數(shù).</p><p>　　常見的供給函數(shù)有以下幾種類型：</p><p>　　1. 線性供給函數(shù)S = ?

36、a + bP (a > 0,b > 0)</p><p>　　2. 指數(shù)供給函數(shù)S = (a > 0,b > 0)</p><p>　　當 Q=S 時，市場的供需處于平衡狀態(tài)，此時的價格稱為均衡價格，需求（或供給）量稱為均衡數(shù)量.</p><p>　　當商品由某廠商獨家生產(chǎn)時，廠商是價格的制定者，它自然會考慮消費者對價格的反應并依需求規(guī)律組

37、織生產(chǎn)，其產(chǎn)量即需求量，價格與產(chǎn)量（需求量）的關系由需求函數(shù)確定，稱該商品市場為完全壟斷市場；當商品由眾多互不占優(yōu)勢的廠商共同生產(chǎn)時，各廠商之間、消費者之間展開競爭并最終使市場處于均衡狀態(tài)，此時商品價格即為均衡價格,單一廠商或消費者的行為（改變產(chǎn)量或需求量）不再影響市場均衡，稱該商品市場為完全競爭市場.</p><p>　　3.1.3總成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤函數(shù)</p><p>　　在生

38、產(chǎn)和經(jīng)營活動中，如果投入的各要素價格不變，則成本C 是產(chǎn)量開銷售量Q 的函數(shù)C = C(Q)，稱為總成本函數(shù).一般地總成本函數(shù)由兩部分組成</p><p><b>　　C(Q)= </b></p><p>　　其中 為固定成本，它與產(chǎn)量無關，如廠房、設備的折舊費、企業(yè)管理費等; 為可變成本，它隨產(chǎn)量的增加而增加，如原材料、動力、工人的工資等.常見的成本函數(shù)是線性函數(shù)

39、.</p><p>　　C(Q)= +aQ (a.>0)</p><p>　　以總成本除以產(chǎn)量，得平均成本函數(shù)</p><p>　　其中與分別稱為平均固定成本與平均可變成本.</p><p>　　廠商銷售Q 單位的商品所提收入為R = R(Q)，稱為總收入（益）函數(shù).設商品的價格</p><p>　　為P，則總

40、收入函數(shù)為</p><p><b>　　R(Q)=PQ</b></p><p>　　總利潤L 等于總收入與總成本的差，于是總利潤函數(shù)為</p><p>　　L(Q) = R(Q) ?C(Q)</p><p><b>　　3.1.4生產(chǎn)函數(shù)</b></p><p>　　生產(chǎn)函數(shù)

41、是指指產(chǎn)量Q 與各種投入要素之間的函數(shù)關系</p><p>　　其中􀀢 為n 種要素的投入量.</p><p>　　如果只考慮兩種投入要素：資本K 和勞動L,則生產(chǎn)函數(shù)為</p><p>　　Q = f (K, L)</p><p><b>　　常見的生產(chǎn)函數(shù)有</b></p><p

42、><b>　　1. 線性生產(chǎn)函數(shù)</b></p><p>　　Q = aK + bL (a,b > 0)</p><p>　　2. Cobb-Douglas 生產(chǎn)函數(shù)</p><p>　　(A,α ,β > 0)</p><p>　　上兩個生產(chǎn)函數(shù)都滿足f (λK,λL) = λf (K, L) ,這稱

43、為規(guī)模報酬不變.</p><p>　　3.2定積分在邊際函數(shù)中的應用</p><p>　　積分是微分的逆運算，因此，用積分的方法可以由邊際函數(shù)求出總函數(shù).</p><p>　　設總量函數(shù)P(x)在區(qū)間I 上可導，其邊際函數(shù)為P′(x)，[a, x]∈ I ，則總有函數(shù)</p><p>　　當 x 從a 變到b 時，P(x)的改變量為</

44、p><p>　　將 x 改為產(chǎn)量Q，且a=0 時，將P(x)代之以總成本C(Q)、總收入R(Q)、總利潤L(Q)，</p><p><b>　　可得</b></p><p>　　其中即為固定成本，為可變成本．</p><p><b>　?。?因為）</b></p><p>　　例

45、 7 已知某公司獨家生產(chǎn)某產(chǎn)品，銷售Q 單位商品時，邊際收入函數(shù)為</p><p>　?。ㄔ?單位）（a>0,b>0,c>0）</p><p>　　求：(1)公司的總收入函數(shù)；(2)該產(chǎn)品的需求函數(shù).</p><p>　　解 ：(1)總收入函數(shù)為</p><p><b>　　===</b></p

46、><p>　　(2)設產(chǎn)品的價格為P，則，得需求函數(shù)為</p><p>　　例 8 某企業(yè)想購買一臺設備，該設備成本為5000 元．T 年后該設備的報廢價值為S(t)=5000-400t 元，使用該設備在t 年時可使企業(yè)增加收入850-40t（元）．</p><p>　　若年利率為5%，計算連續(xù)復利，企業(yè)應在什么時候報廢這臺設備？此時，總利潤的現(xiàn)值是</p>

47、;<p><b>　　多少？</b></p><p>　　解： T 年后總收入的現(xiàn)值為</p><p>　　T 年后總利潤的現(xiàn)值為</p><p>　　令L′(T) = 0，得T=10．當T<10 時，L′(T) > 0，當T<10 時，L′(T) < 0，則T=10 是</p><p&

48、gt;　　惟一的極大值點．即T=10 時，總利潤的現(xiàn)值最大，故應在使用10 年后報廢這臺機器．此</p><p>　　時企業(yè)所得的利潤的現(xiàn)值為</p><p><b>　　(元)</b></p><p>　　3.3定積分在消費者剩余或生產(chǎn)者剩余中的應用</p><p>　　在市場經(jīng)濟中，生產(chǎn)并銷售某一商品的數(shù)量可由這一商

49、品的供給曲線與需求曲線萊描述（下圖）．需求量與供給量都是價格的函數(shù)，用橫坐標表示價格，縱坐標表示需求量或供給量．在市場經(jīng)濟下，價格和數(shù)量在不斷調(diào)整，最后趨向平衡價格和平衡數(shù)量，分別用和表示，也即供給曲線與需求曲線的交點E．</p><p>　　在圖中， 是供給曲線在價格坐標軸上的截距，也就是當價格為時，供給量是零，中有價格高于時，才有供給量．而是需求曲線的截距，當價格為時，需求量是零，只有價格低于時，才有需求．則

50、表示當商品免費贈送是的最大需求</p><p>　　在市場經(jīng)濟中，有時一些消費者愿意對某種商品付出比市場價格P0更高的價格，由此他們所得到的好處稱為消費者剩余(CS).由圖7-16可以看出：</p><p><b>　　(1)</b></p><p>　　同理，對生產(chǎn)者來說，有時也有一些生產(chǎn)者愿意以比市場價格P0低的價格出售他們的商品，由此他們

51、所得到的好處稱為生產(chǎn)者剩余(PS)，如圖7-16所示，有</p><p><b>　　(2)</b></p><p>　　例9　設需求函數(shù)Q＝8-，供給函數(shù)Q＝，求消費者剩余和生產(chǎn)者剩余.</p><p>　　解:　首先求出均衡價格與供需量.</p><p>　　得 ＝15，＝3.</p><p&g

52、t;　　令8-＝0，得P1＝24，令＝0，得＝9，代入(3)、(4)式得</p><p><b>　　CS＝，</b></p><p><b>　　PS＝.</b></p><p>　　3.4定積分在實際問題中的應用</p><p>　　3.4.1定積分在國民收入中的應用</p>&l

53、t;p>　　現(xiàn)在，我們討論國民收入分配不平等的問題.觀察如下圖中的勞倫茨(MOLorenz)曲線.</p><p>　　橫軸OH表示人口(按收入由低到高分組)的累計百分比，縱軸OM表示收入的累計百分比.當收入完全平等時，人口累計百分比等于收入累計百分比，勞倫茨曲線為通過原點、傾角為45°的直線；當收入完全不平等時，極少部分(例如1%)的人口卻占有幾乎全部(100%)的收入，勞倫茨曲線為折線OHL.

54、實際上，一般國家的收入分配，既不會是完全平等，也不會是完全不平等，而是在兩者之間，即勞倫茨曲線是圖中的凹曲線ODL.</p><p>　　易見勞倫茨曲線與完全平等線的偏離程度的大小(即圖示陰影面積)，決定了該國國民收入分配不平等的程度.</p><p>　　為方便計算，取橫軸OH為x軸，縱軸OM為y軸，　</p><p>　　再假定該國某一時期國民收入分配的勞倫茨曲

55、線可近似表示為y＝f(x)，則</p><p>　　即 不平等面積A＝最大不平等面積(A+B)-B＝12-f(x)dx</p><p>　　系數(shù)表示一個國家國民收入在國民之間分配的不平等程度，經(jīng)濟學上，</p><p>　　稱為基尼(Gini)系數(shù)，記作G. </p><p><b>　　＝</b></p&

56、gt;<p>　　顯然，G＝0時，是完全平等情形；G＝1時，是完全不平等情形.</p><p>　　例10 某國某年國民收入在國民之間分配的勞倫茨曲線可近似地由y＝x2，x∈［0，1］表示，試求該國的基尼系數(shù).</p><p>　　解:　如圖7-15所示，有</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p

57、><b>　　故所求基尼系數(shù)</b></p><p>　　3.4.2定積分在投資問題中的應用</p><p>　　對于一個正常運營的企業(yè)而言，其資金的收入與支出往往是分散地在一定時期發(fā)生的，比如購買一批原料后支出費用，售出產(chǎn)品后得到貨款等等.但這種資金的流轉(zhuǎn)在企業(yè)經(jīng)營過程中經(jīng)常發(fā)生，特別對大型企業(yè)，其收入和支出更是頻繁的進行著.在實際分析過程中為了計算的方便，我

58、們將它近似地看做是連續(xù)地發(fā)生的，并稱之為收入流(或支出流).若已知在t時刻收入流的變化率為f(t)(單位：元/年、元/月等)，那么如何計算收入流的終值和現(xiàn)值呢?</p><p>　　企業(yè)在［0，T］這一段時間內(nèi)的收入流的變化率為f(t)，連續(xù)復利的年利率為r.為了能夠利用計算單筆款項現(xiàn)值的方法計算收入流的現(xiàn)值，將收入流分成許多小收入段，相應地將區(qū)間［0，T］平均分割成長度為Δt的小區(qū)間.當Δt很小時，f(t)在每

59、一子區(qū)間內(nèi)的變化很小，可看做常數(shù)，在t與t+Δt之間收入的近似值為f(t)Δt，相應收入的現(xiàn)值為f(t)e-rtΔt，再將各小時間段內(nèi)收入的現(xiàn)值相加并取極限，可求總收入的現(xiàn)值為</p><p>　　現(xiàn)值＝，　　　　(1)</p><p>　　類似地可求得總收入的終值為終值＝.　　　(2)</p><p>　　例11某企業(yè)將投資800萬元生產(chǎn)一種產(chǎn)品，假設在投資的前2

60、0年該企業(yè)以</p><p>　　200萬元/年的速度均勻地收回資金，且按年利率5%的連續(xù)復利計算，試計算該項</p><p>　　投資收入的現(xiàn)值及投資回收期.</p><p>　　解:　依題知f(t)＝200，由公式(1)知投資總收入的現(xiàn)值為</p><p><b>　　現(xiàn)值＝</b></p><p

61、>　?。?000(1-)＝2528.4.</p><p>　　假設回收期為T年，則由公式(1)知，</p><p>　　由此可解出T＝-20ln0.8＝4.46(年)，所以回收期約為4.46年.</p><p>　　若有一筆收益流的收入率為f ( t) , 假設連續(xù)收益流以連續(xù)復利率r 計息, 從而總現(xiàn)值</p><p>　　例12 現(xiàn)

62、對某企業(yè)給予一筆投資A, 經(jīng)測算,該企業(yè)在T 年中可以按每年a 元的均勻收入率獲得收入, 若年利潤為r, 試求：</p><p>　　( 1) 該投資的純收入貼現(xiàn)值;</p><p>　　( 2) 收回該筆投資的時間為多少?</p><p>　　解: ( 1) 求投資純收入的貼現(xiàn)值： 因收入率為a, 年利潤為r, 故投資后的T 年中獲總收入的現(xiàn)值為</p>

63、;<p>　　從而投資所獲得的純收入的貼現(xiàn)值為</p><p>　　( 2) 求收回投資的時間： 收回投資, 即為總收入的現(xiàn)值等于投資．</p><p><b>　　由得</b></p><p><b>　　即收回投資的時間為</b></p><p>　　結(jié)束：定積分與實際應用聯(lián)系較近

64、，牛頓曾利用積分從萬有引力導出行星三定律．定積分在物理，化學，經(jīng)濟，工程中也有重要的應用，我也相信，隨著人類認識的不斷發(fā)展，定積分將越來越起著重要的作用．</p><p><b>　　參考文獻 ： </b></p><p>　　[1] 華東師大數(shù)學系編 數(shù)學分析上冊 高等教育出版社</p><p>　　[2] 數(shù)學分析上冊 陳傳

65、璋 復旦大學數(shù)學系 </p><p>　　[3] 微積分及其應用 李公國（譯） 徐氏基金會出版社</p><p>　　[4] 普通物理簡明教程 戴啟潤 西北大學出版社 </p><p>　　[5] 競賽數(shù)學教程 陳傳理 張同君 高等教育出版社 </p><p>　　[6]

66、 積分（經(jīng)管類） 吳贛昌 中國人民大學出版社</p><p>　　[7] 濟數(shù)學-微積分 吳傳生 高等教育出版社</p><p>　　[8] 等數(shù)學 聶洪珍 中國對外經(jīng)濟貿(mào)易出版社</p><p>　　[9] 濟數(shù)學 雷伊 利弗諾等 中國人民大學出版社&

67、lt;/p><p>　　[10] 經(jīng)濟學原理 曼昆 北京大學出版社</p><p>　　Theory, extension and application of definite integral thought</p><p>　　Content summary ： Definite integral problem is that

68、 the University has always been focused on learning mathematics, is one of the graduate entrance examination focused on investigation of content, so this article on the origins, development, and its definite integral in

69、mathematics, geometry, physics, economics and other disciplines do focus on the application of. Bing with some examples in addition to the detailed analysis to these issues. </p><p>　　Keywords: Definite inte

70、gral Cauchy differential equations of physical geometry economic variables</p><p>　　定積分思想的理論、延拓及應用</p><p><b>　　孔姍姍</b></p><p><b>　　內(nèi)容摘要</b></p><p&