第五章

1、<p>　　《高等數學》課程學習指導與討論題</p><p>　　第五章 多元函數微分學及其應用</p><p>　　在理論研究和實際應用中，經常遇到具有兩個或兩個以上自變量取值為數量或向量的函數，就是多元數量值函數與多元向量值函數，統(tǒng)稱為多元函數，本章研究多元函數微分學的基本概念、理論和方法以及它們的應用，包括多元函數的極限與連續(xù)性。導數(方向導數，偏導數與梯度)與全微分等基

2、本概念，多元函數微分法、極值問題以及多元函數微分學的一些幾何應用。多元函數微分學中的基本概念、理論和方法是一元函數相應概念、理論和方法的推廣和發(fā)展，因此它們之間既有相同之處，又有許多本質上的不同，同學們在學習這部分內容的時候，既要注意它們的相同點和互相聯系，更要注意它們之間的不同點，善于將它們進行比較，研究推廣到多元函數之后出現的新情況和新問題以及為什么會出現這些差異，有能力的同學還應注意推廣的方法，以提高自己分析和解決問題的能力。&l

3、t;/p><p>　　本章教學實施方案(總計30學時)</p><p>　　講 課：24學時分 1.n維Enclid空間中點集的初步知識（2學時）2.多元函數的極限與連續(xù)性(2學時) 3.多元數量值函數的導數與微分(7學時) 4．多元函數的Taylor公式與極值問題(4學時)；5．多元向量值函數的導數與微分(3學時)；6．多元函數微分學的幾何應用(3學時)</p><

4、p>　　7.空間曲線的曲率與撓率（3學時）。</p><p>　　習題課：4學時 1.多元函數極限、連續(xù)、偏導數與全微分（2學時）；2.多元函數的極值與多元微分在幾何中的應用（2學時）。</p><p>　　討論課：2學時 多元函數極限、連續(xù)、偏導數、方向導數、梯度、全微分的概念及聯系；；多元函數在極值問題中與幾何方面的應用。</p><p>　　第一節(jié)

5、 n維Enclid空間中點集的初步知識</p><p><b>　　一、教學內容與重點</b></p><p>　　中點列的極限與點集的初步知識。</p><p><b>　　二、教學要求</b></p><p>　　1. 理解n維歐氏空間中點列極限的概念及性質，了解它們與一維空間中數列極限概念及性

6、質的異同。</p><p>　　2. 知道中的開值(含集合的內點與內部)，閉集(含集合的聚點及導集)，區(qū)域有界閉集(即緊集)等常用的幾個概念并能識別一些常見集合的開閉性，連通性。</p><p>　　第二節(jié) 多元函數的極限與連續(xù)性</p><p><b>　　一、教學內容與重點</b></p><p>　　多元函數的概

7、念(多元數量值函數與多元向量函數)；多元函數的極限(重點講二重極限)；多元函數的連續(xù)性(重點講二元連續(xù)函數)及其性質。</p><p><b>　　二、教學要求</b></p><p>　　1. 理解多元函數有多元數量值函數與多元向量值函數之分。</p><p>　　2. 正確領會二重極限的概念，它與一元函數極限的異同，理解二重(重)極限定義中

8、為什么要求()(或)為A的一個聚點。</p><p>　　3. 正確理解利用二重極限定義說明二重極限不存在的方法，會求較簡單的二元函數的二重極限。</p><p>　　4. 正確理解二元(多元)函數的連續(xù)與間斷的概念。</p><p>　　5. 理解元向量值函數極限與連續(xù)性的定義。</p><p>　　6. 知道有界閉集上多元連續(xù)函數的有界性

9、，最大最小值定理及有界連通閉集上多元連續(xù)函數的介值定理。</p><p>　　第三節(jié) 多元數量值函數的導數與微分</p><p><b>　　一、教學內容與重點</b></p><p>　　方向導數與偏導數的定義及幾何意義；全微分的概念，函數可微的必要條件與充分條件，全微分在近似計算與誤差估計中的應用；梯度的概念，運算法則及其與方向導數的關系

10、；高階偏導數;多元復合函數的鏈式法則(重點二元函數)與全微分，一階全微分形式不變性，由一個方程所確定的隱函數的微分法，由方程組所確定的隱函數的微分法。</p><p><b>　　二、教學要求</b></p><p>　　1. 正確理解方向導數與偏導數的定義和幾何意義，理解方向導數與偏導數之間的關系，理解多元函數在一點處方向導數、偏導數都存在不能保證函數在該點連續(xù)。&

11、lt;/p><p>　　2. 正確理解多元函數在一點處可微與全微分的定義。</p><p>　　3. 理解并熟記多元函數在一點處可微、方向導數存在、偏導數存在與連續(xù)之間的關系。</p><p>　　4. 熟悉利用偏導數求全微分的公式，會用全微分計算函數的近似值并能估計誤差。</p><p>　　5. 正確理解梯度的概念及其與方向導數的關系，熟悉梯

12、度的運算，并會求函數的梯度。</p><p>　　6. 熟悉多元函數(重點是二元函數)的高階偏導數(重點為二階偏導數)及混合偏導數相等的條件。</p><p>　　7. 正確掌握和使用鏈式法則求多元復合函數的一階與二階偏導數的方法，特別是會求由抽象函數的復合而成的復合函數的偏導數，要求同學們通過做一定數量的習題，體會掌握該方法的關鍵在于弄清函數的復合關系。</p><

13、p>　　8. 理解一階微分形式不變性，并會用它求復合函數的一階全微分與偏導數。</p><p>　　9. 知道由一個方程所確定的隱函數的存在定理，并能正確求出隱函數的一、二階導數。</p><p>　　10. 會求由方程組所確定的隱函數的一階導數。</p><p>　　第四講 多元函數的Taylor公式與極值問題</p><p>&l

14、t;b>　　一、教學內容與重點</b></p><p>　　多元函數的Taylor公式(重點是二階Taylor公式)，多元函數無約束極值的必要條件與充分條件，最大最小值問題，有約束極值的Lagrange乘數法。</p><p><b>　　二、教學要求</b></p><p>　　1．熟悉多元函數的二階Taylor及其向量形式

15、，理解其中的一階項系數為函數的梯度，二階項為二次型，其對應的矩陣為函數的Hessian矩陣。</p><p>　　2. 能正確使用極值的必要條件與充分條件求出極值點并判定其是極大值還是極小值。</p><p>　　3. 會求函數在有界閉域上的最大值與最小值，并利用它去解決實際應用中的最大值與最小值問題。</p><p>　　4. 能正確建立在實際問題中有約束極值的目

16、標函數與約束條件，并能使用Lagrange乘數法正確求解此類問題。</p><p>　　第五節(jié) 多元向量函數的導數與微分</p><p><b>　　一、教學內容與重點</b></p><p>　　向量值函數的方向導數與偏導數，向量值函數的導數與微分的概念，向量值函數在一點處的Jacobi矩陣與Jacobi行列式，向量值函數的微分運算法則，向量

17、值函數的鏈式法則。</p><p><b>　　二、教學要求</b></p><p>　　1. 正確理解一元向量值函數導數的定義及幾何意義，知道多元向量值函數方向導數與偏導數的定義與計算方法。</p><p>　　2. 理解向量值函數可導性(可微性)，導數與微分的概念。</p><p>　　3. 熟悉向量值函數導數的矩陣

18、表示、Jacobi矩陣以及向量值函數的Jacobi矩陣與Jacobi行列式的區(qū)別。會計算一元向量值函數的一階與二階導數。</p><p>　　4. 熟悉向量值函數的求導法則，包括鏈式法則。</p><p>　　第六節(jié) 多元函數微分學在幾何上的簡單應用</p><p><b>　　一、教學內容與重點</b></p><p&g

19、t;　　空間曲線的切線與法平面，弧長與弧微分，曲面的切平面與法線，空間曲線的Frenet標架，曲線的曲率，曲線撓率的初步知識。</p><p><b>　　二、教學要求</b></p><p>　　1. 理解曲線的參數表示方法。</p><p>　　2. 熟悉曲線的切線與法平面方程的各種表達式，并會利用它們解決與之相關的一些幾何問題。</

20、p><p>　　3. 理解可求長曲線及其弧長的概念，熟悉弧長計算公式。</p><p>　　4. 理解弧微分與自然參數的概念，知道采用自然參數表示曲線有什么優(yōu)點。</p><p>　　5. 理解曲面的雙參數表示及曲面上的參數曲線網。</p><p>　　6. 熟悉曲面的切平面與法線方程的表達式，并會利用它們解決與之相關的一些幾何問題。</p

21、><p>　　7. 理解空間曲線上的活動坐標架(即Frenet標架)的構成－－單位切向量、主法向量與次法向量，知道它們的表達式。</p><p>　　8. 正確理解曲線的曲率的概念，熟悉曲率與曲率半徑的計算。</p><p>　　9. 理解曲線撓率的概念，知道撓率的計算公式。</p><p>　　第七節(jié) 空間曲線的曲率與撓率</p>

22、<p><b>　　一、教學內容與重點</b></p><p>　　空間曲線的Frenet標架，曲線的曲率，曲線撓率的初步知識。</p><p><b>　　二、教學要求</b></p><p>　　1. 理解空間曲線上的活動坐標架(即Frenet標架)的構成－－單位切向量、主法向量與次法向量，知道它們的表達

23、式。</p><p>　　2. 正確理解曲線的曲率的概念，熟悉曲率與曲率半徑的計算。</p><p>　　3. 理解曲線撓率的概念，知道撓率的計算公式。</p><p><b>　　討論題</b></p><p>　　1．在定義函數在點處的極限時，為什么要求點為的聚點？</p><p>　　2．，

24、，使得在函數的定義域內滿足，且的一切均有成立，則。對嗎？</p><p>　　3．多元函數的極限與一元函數的極限有何異同點？根據極限的定義，可將一元函數極限中的哪些概念與命題推廣到多元函數中來？</p><p>　　4．如果引入極坐標，且對每一個值都有，其中A是與無關的常數，那么是否必有？試研究例子。</p><p>　　5. 判定二重極限不存在的常用方法有哪些?&

25、lt;/p><p>　　6．如果函數在處連續(xù)，在處連續(xù)，那么二元函數在點處是否必連續(xù)？試研究函數在(0,0)處的連續(xù)性。</p><p>　　7．計算偏導數時，能否先將代入中，再對求導？即是否成立？對于函數，你能很快求出嗎？</p><p>　　8．對于函數，問及是否存在？在點是否連續(xù)？在點是否可微？此例說明什么？</p><p>　　9.試討論

26、二元函數在點處連續(xù)、偏導數存在、沿任一方向的方向導數存在、可微及一階偏導數連續(xù)之間的關系。</p><p>　　10．判斷一個函數在點是否可微的常用方法是有哪些？試判斷下列函數在給定點處是否可微：</p><p><b>　　(1) ,在點；</b></p><p><b>　　(2) ，在點；</b></p&g

27、t;<p><b>　　(3)　在點。</b></p><p><b>　　(4)　，在點；</b></p><p>　　11．若，，，問公式、成立的條件（條件盡可能的弱）是什么？設函數</p><p><b>　　，又，，欲求，</b></p><p>　　下述

28、兩種求法的結果不一樣，這是為什么？</p><p>　　解法1：由于，于是由鏈導法則</p><p>　　解法2：把，代入中，得，故。 </p><p>　　12.若在區(qū)域上恒有能否斷言函數在上的函數值與無關？</p><p>　　13．設為過點的任一直線，如果當點在上變動時，函數都在處取得極值，問能否斷定在處取得極值？試研究例子：，<