數(shù)學與應用數(shù)學畢業(yè)論文hölder不等式的推廣與研究

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p>　　Hölder不等式的推廣與研究</p><p>　　On generalization of the Hölder inequality </p><p>

2、　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學與應用數(shù)學 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期

3、 年 月 </p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　借此畢業(yè)論文完成之際，感謝所有幫助過我的老師和同學們，在我大學的四年里，是你們的關心和幫助才使得我完成所有的學業(yè)。</p><p>　　首先我要向陳老師致以最真誠的謝意，感謝陳老師在論文寫作中給予我的指導和關懷。論文的寫作過程并不

4、是一帆風順，遇見問題時陳老師總是耐心地教導我如何獨立地解決問題。陳老師的嚴謹治學態(tài)度、淵博的知識、無私的奉獻精神使我深受啟迪和鼓舞。在此向陳老師致以最衷心的感謝和深深的敬意！</p><p>　　感謝貴州財經(jīng)大學數(shù)學與統(tǒng)計學院領導的關懷，是你們給我們創(chuàng)造了良好的學習環(huán)境和氛圍，使我在這四年的學習中不斷的成長，在此表示由衷的謝意！</p><p>　　感謝在百忙之中評閱論文和參加我答辯的各位

5、老師。</p><p>　　最后，感謝我的家人及朋友長期以來以對我的幫助和關懷！</p><p>　　Hölder不等式的推廣與研究</p><p>　　摘要： Hölder不等式是數(shù)學不等式中最基本的不等式之一，它對不等式的研究和推廣都起到了非常重要的作用．Hölder不等式與Minkowski不等式、Young不等式和Cauchy不

6、等式等都有著密切的聯(lián)系．本文主要研究了連續(xù)Hölder不等式、Young不等式以及Minkowski不等式之間聯(lián)系, 還有在時, Hölder不等式的性質(zhì)和變化形式，得到了反向的Hölder不等式．我們還推廣了多維情況下的反向Hölder 不等式．</p><p>　　關鍵詞： Hölder不等式，Minkowski不等式， Young不等式， 連續(xù)，反向不等式．

7、 </p><p>　　On generalization of the Hölder inequality</p><p>　　Abstract：Hölder inequality is one of the most basic inequalities in mathematical inequalities, which plays a very importa

8、nt role in extension of inequalities. It closely related to the Minkowski inequality, Young inequality and Cauchy inequality. In this paper, we mainly study the relationship between the Hölder inequality and Young i

9、nequality and Minkowski inequality. Also in the case of 0<p<1, we obtain the reverse Hölder inequality. Moreover, we also extended to the reverse Hölder inequality </p><p>　　Keywords: Hö

10、lder inequality, Minkowski inequality, Young inequality, continuous, reverse inequality.</p><p>　　目 錄 </p><p><b>　　致謝I</b></p><p><b>　　摘要II</b

11、></p><p><b>　　目錄III</b></p><p><b>　　1.引言1</b></p><p>　　2.Hölder不等式的研究1</p><p>　　2.１ 連續(xù)型的Hölder不等式2</p><p>　　2.2 離散

12、型的Hölder不等式3</p><p>　　2.3 Hölder不等式與Minkowski不等式之間的聯(lián)系4</p><p>　　2.4　Cauchy不等式4</p><p>　　2.5反向的Hölder 不等式5</p><p>　　2.5.1反向連續(xù)型的Hölder 不等式5</p

13、><p>　　2.5.2反向離散型Hölder不等式:6</p><p>　　3.　Hölder不等式的推廣7</p><p>　　3.1離散形式的Hölder不等式的推廣7</p><p>　　3.2連續(xù)形式的Hölder不等式的推廣9</p><p>　　3.3反向離散形

14、式的Hölder不等式的推廣10</p><p>　　3.4反向連續(xù)形式的Hölder不等式的推廣12</p><p>　　結 論.....................................................................................................................

15、.................... 12</p><p><b>　　參考文獻13</b></p><p><b>　　1.引言</b></p><p>　　Hölder不等式是數(shù)學不等式中最基本最重要的不等式之一， 是數(shù)學不等式證明中的一個重要的支柱和應用工具．19世紀80年代以來，Hölde

16、r不等式的研究引起了廣大數(shù)學工作者的研究興趣，參見（[3]-[6]），他們對此不等式進行了推廣和改進，使得 Hölder不等式的研究已經(jīng)相當?shù)某墒?</p><p>　　本文主要分為兩個部分，第一部分主要研究 Hölder不等式與 Young不等式, Minkowski不等式及 Cauchy不等式之間的關系. 第二部分主要根據(jù)的取值研究其反向的 Hölder不等式． </p&g

17、t;<p>　　2. Hölder不等式的研究</p><p>　　首先我們介紹Young不等式 </p><p>　　Young不等式 (參見[2])：設為[0，+]上的嚴格上升的連續(xù)函數(shù)，且，的反函數(shù)，則當 時有</p><p><b>　　（1）</b></p><p>　　等號當且僅當時成

18、立．</p><p>　　推論1：設為滿足的正數(shù)，則有</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　成立．等號當且僅當時成立．</p><p>　　證明: 令,那么,任取，由Young不等式得</p><p><b>　　,</b></p>

19、<p><b>　　即　</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　該推論成立．</b></p><p>　　推論2 ： 設，當，且當滿足時，則 </p><p><b>　?。?） </b></p>

20、;<p>　　等號當且僅當時成立．</p><p>　　證明：令，且，設，則得</p><p><b>　　==0，　和　.</b></p><p><b>　　因此，當時</b></p><p><b>　　=，</b></p><p>

21、<b>　　即得　</b></p><p><b>　　．</b></p><p>　　2.1 連續(xù)型的Hölder不等式</p><p>　　連續(xù)型Hölder不等式：設,在[a，b]上連續(xù)，，為滿足的正數(shù)，則有：</p><p><b>　?。?） </b&g

22、t;</p><p>　　成立．等號成立當且僅當存在，滿足對任意的幾乎處處成立． </p><p>　　證明: (1) 當或時，恒有， </p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　此時，不等式成立．</b></p><p>　　(2) 若不是(1

23、)所說的情況，則令</p><p><b>　　， .</b></p><p>　　由于與，則可以知道，且， 則由推論1可以得，</p><p><b>　　將，帶入可得 </b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　

24、由閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必定可積，對（5）式兩端在[a,b]上關于x求積分，根據(jù)積分的線性性及保序性可以得到下列不等式</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　即　　</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　故　　　　　　

25、 　， </p><p><b>　　結論得證． </b></p><p>　　2.2 離散型的Hölder不等式 </p><p>　　離散型的Hölder不等式：（參見[4]和[8]）設S為離散測度空間，，且滿足，則對所有實數(shù)和，有</p><p>　　當且僅當時等號成立．（證明略

26、）</p><p>　　2.3 Hölder不等式與Minkowski不等式之間的聯(lián)系</p><p>　　在Hölder不等式中，令，則可以得到下式</p><p>　　. </p><p><b>　　由于</b></p><p><b

27、>　?。?</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　綜合上述可得</b></p><p>　?。?</p><p>　　即得到以

28、下Minkowski不等式. </p><p>　　Minkowski不等式: 若函數(shù) 上都可積，則下列不等式成立</p><p><b>　　. （7）</b></p><p>　　2.4　Cauchy不等式</p><p>　　Cauchy不等式：若上連續(xù)，則以下不等式成立</p><

29、p>　?。?（8） </p><p>　　證明: 在Hölder不等式中，當時， </p><p><b>　　.</b></p><p>　　由于都大于0，兩邊同時平方得</p><p><b>　　. </b></p><p>　　Ca

30、uchy不等式在數(shù)學分析中和其他的數(shù)學領域的應用廣泛，為數(shù)學研究奠定了深厚的基礎，特別是在證明不等式、解三角形、求函數(shù)最值、解方程等問題的方面的應用最為廣泛．</p><p>　　在Hölder 不等式中,且滿足, 即我們得到,　如果, 則,在這種情況下我們得到如下的反向的Hölder 不等式,</p><p>　　2.5反向的Hölder 不等式</p

31、><p>　　2.5.1定理１ (反向連續(xù)型的Hölder 不等式) ：設且，滿足，且 ,在[a，b]上連續(xù)，則有</p><p>　　. （9）</p><p>　　證明:（1）當或時， </p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　此時等

32、式恒成立．</b></p><p><b>　?。?）當</b></p><p><b>　　令</b></p><p>　　， , x[a,b].</p><p>　　由于 </p><p><b>　　與，</b>

33、;</p><p>　　則 </p><p>　　≧0，≧0, 且 ，</p><p><b>　　由推論2可得，</b></p><p><b>　　將，帶入可得</b></p><p><b>　　. （10）</b><

34、;/p><p>　　由閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必定可積，對（10）式兩端在[a,b]上關于x求積分，根據(jù)積分的線性性及保序性可以得到下列不等式</p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　, 　　　</b></p><p><b>　　. </b></p

35、><p><b>　　不等式得證.</b></p><p><b>　　對離散型的我們有：</b></p><p>　　2.5.2定理２（反向離散型Hölder不等式）(參見[3]）：設Ｓ為離散的測度空間，則對所有實數(shù)和,或q<0，且滿足，則有</p><p><b>　　（1

36、1）</b></p><p><b>　　成立．</b></p><p>　　證明：當或者時，不等式(11)顯然成立．</p><p>　　當和都不等于0時，不妨設</p><p>　　>0, >0,　 .</p><p>　　令　　

37、　　　　　　　　</p><p><b>　　，</b></p><p>　　由>0,b>0,和推論2可得，</p><p>　　將時所得的不等式相加求和即可得</p><p>　　． </p><p><b>　　即</b><

38、/p><p>　?。?</p><p>　　即得反向的離散型Hölder不等式．</p><p>　　3.　Hölder不等式的推廣</p><p>　　引理1（參見[4])：設（）且則有以下不等式成立</p><p>　　.

39、 （12）</p><p>　　推論3（參見[4]） 設,且，則有</p><p>　　. （13）</p><p>　　證明：在引理1中，令將其帶入不等式</p><p><b>　　即 </b></p><p><b>　　，

40、 </b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　故推論成立．</b></p><p>　　3.1 離散形式的Hölder不等式的推廣</p><p>　　定理3（離散形式的Hölder不等式）（參見[4]） </p>&

41、lt;p>　　設 ，(),其中>0,并且滿足，則有以下不等式成立</p><p>　　. （14）證明：已知>0,且，現(xiàn)在假設，</p><p>　　因為,，則根據(jù)推論3可以得</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　將帶入上式，可以得</b><

42、;/p><p>　　. （15） </p><p>　　所以 </p><p><b>　　.</b></p><p>　　在上式中，分別將時所得的不等式進行相加得</p><p><b>　　.<

43、/b></p><p><b>　　由于 ，所以</b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　結論成立．</b></p><p>　　3.2 連續(xù)形式的Hölder不等式的推廣</p><p>　

44、　設S是R上的一個可測集，是S上的實值可測函數(shù)，當兩個這樣的函數(shù)在S上幾乎處處相等時，對它們不加區(qū)別。取定正數(shù)P，假定上可積，這樣的函數(shù)構成的集記作.其中叫做的-范數(shù)，且.</p><p>　　定理４（連續(xù)形式的Hölder不等式）(參見[5][7])：設，并且滿足 ，設測函數(shù)，則</p><p>　　. （16）</p>&

45、lt;p>　　證明:（1）當m=2時，不等式明顯成立，為二維的Hölder不等式．</p><p>　　(2) 設m=k時，結論成立,即</p><p><b>　　.</b></p><p>　　(3) 證明當m=k+1時，（16）也成立，即證明當且滿足 時，不等式 </p><p><b>

46、;　　成立．</b></p><p><b>　　令 ，因為，則，且</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　由Hölder不等式得：</p><p><b>　　. （17）</b></p><p>&

47、lt;b>　　由假設可以得：</b></p><p><b>　　因為</b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　. </b></p><

48、;p>　　將 代入（17）即得 ，</p><p><b>　　該結論成立.</b></p><p>　　3.3 反向離散形式的Hölder不等式的推廣</p><p>　　推論4: 設,且，則有</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　

49、（其實不難發(fā)現(xiàn)這其實就是反向的推論3，證明略）</p><p><b>　　由推論4我們可得:</b></p><p>　　定理５（反向離散形式的Hölder不等式）：(參見[3])　</p><p>　　設且,(i=2,3......n),并且滿足，則有下列不等式成立</p><p>　　,

50、（18）</p><p>　　并且當時不等式的等號成立．</p><p>　　證明：顯然時，不等式成立且其等式成立．</p><p><b>　　當時，由于 ,</b></p><p>　　令 , </p><p>　　因為 ，所以由推論4可知<

51、/p><p><b>　　（19）</b></p><p>　　當且僅當時等號成立.</p><p>　　在（19）中分別將j=1，2，3......n時所得的不等式進行相加，最后可以得到下列結果</p><p><b>　　由于 </b></p><p><b>　　

52、，</b></p><p><b>　　所以得</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　故結論成立．</b></p><p>　　3.4 反向連續(xù)形式的Hölder不等式的推廣</p><p>　

53、　定理６（反向連續(xù)形式的Hölder不等式）： 設，并且滿足，設對任意的可測函數(shù)，則有</p><p><b>　　（20）</b></p><p><b>　　成立．</b></p><p>　　證明：運用數(shù)學歸納法證明.</p><p>　?。?）當m=2時，不等式明顯成立，為二維的H

54、ölder不等式．</p><p>　?。?）設時，不等式（20）成立</p><p><b>　　即 </b></p><p>　　. </p><p>　?。?）當時,假設，且滿足. 因為，則，且,故

55、 </p><p>　　由于　，且.又因為 ,則 </p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　所以得</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　不等式得證.</b>

56、</p><p>　　結論：Hölder不等式與Young不等式及Minkowski不等式有著密切的關系，由Young不等式可以證明出Hölder不等式， 由Hölder不等式可以證明出Minkowski不等式和Cauchy不等式. 在Hölder不等式中，當其他條件不變，且qR時，可以得到反向的Hölder不等式，且將其推廣到多維的條件下仍然成立.</p&

57、gt;<p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 陳紀修，於崇華，金路,數(shù)學分析 [M]（第二版,上冊）, 北京：高等教育出版社，2004.5.</p><p>　　[2] 孫永生，王昆揚, 泛函分析講義 [M]（ 第二版）, 北京：北京師范大學出版社，2007.12.</p><p>　　[3] 樓宇同,

58、Young不等式和Hölder不等式的推廣[J], 南京郵電學院學報， 1994.12:98-103.[4] 吳焱生，關于Hölder不等式及其推廣[J], 宜春師專學報，1997.10.1997年第5期.[5] 孫秀花，賈洪波, Hölder不等式的推廣, 河南教育學院學報(自然科學版), 2010.3.第 19 卷第1期.[6] 胡克, 論Hölder不等

59、式[J], 江西師范大學學報（自然科學版），1994.3 :205—207.</p><p>　　[7] 高麗, Hölder積分不等式的幾種證明方法, 延安大學學報(自然科學版),1995.9.第14 卷第3期.</p><p>　　[8] 黃穎瑞,關于兩種形式的Hölder不等式的證明[J],數(shù)學學習與研究（教研版）,2009年第8期:81—82.</p