馬爾可夫鏈理論及其在經(jīng)濟領域的應用【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　馬爾可夫鏈理論及其在經(jīng)濟領域的應用 </p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級

2、 數(shù)學與應用數(shù)學 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要</b&

3、gt;</p><p>　　馬爾可夫鏈是一個離散的隨機過程模型, 它在研究經(jīng)濟和社會現(xiàn)象中的動態(tài)系統(tǒng)問題有極其廣泛的應用. 本文主要研究馬爾可夫鏈的基本理論及其在經(jīng)濟領域的應用, 文章首先介紹了馬爾可夫鏈的基本理論, 研究了馬爾可夫鏈傳統(tǒng)的兩種預測方法, 比較馬爾可夫鏈預測方法與其它定量統(tǒng)計預測方法的主要區(qū)別, 建立了馬爾可夫鏈理論在股市分析應用的數(shù)學模型, 并利用此模型對股價的運動特征和漲落的時間周期進行定量分

4、析; 其次對傳統(tǒng)馬爾可夫理論進行改進, 介紹了加權馬爾可夫鏈的理論及其預測方法, 利用加權馬爾可夫鏈理論研究經(jīng)濟領域的具體實踐問題; 最后為了進一步提高馬爾可夫鏈預測方法的科學性、合理性和準確性, 提出了值得進一步研究的幾個研究方向.</p><p>　　關鍵詞: 馬爾可夫鏈; 經(jīng)濟領域; 股市; 加權馬爾可夫鏈</p><p>　　Markov Chain Theory and its

5、 Applications in the Field of Economics</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Markov chain is a discrete stochastic process model which has very wide applications in studying quantitativ

6、ely analysis of a system transferring from one state to another, many dynamic systematic problems in the economic and social phenomenon. In this paper we first introduce the basic theory of Markov chain, two research cla

7、ssical prediction methods of Markov chain and compare them with other quantitative analysis methods. Secondly, we use two kinds of the prediction methods of Markov theory t</p><p><b>　　目錄</b><

8、/p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractIII</p><p><b>　　1 前言1</b></p><p>　　2 馬爾可夫鏈的基本性質(zhì)3</p><p>　　2.1馬爾可夫鏈的基本概念3</p><p>

9、;　　2.2切普曼-柯爾莫哥洛夫方程4</p><p>　　2.3 馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類5</p><p>　　2.4 極限定理10</p><p>　　3 馬爾可夫鏈預測方法研究14</p><p>　　3.1 傳統(tǒng)的馬爾可夫鏈預測方法14</p><p>　　3.2馬爾可夫鏈與其他定量統(tǒng)計預測方法的區(qū)別

10、15</p><p>　　4 傳統(tǒng)馬爾可夫鏈在經(jīng)濟領域的應用17</p><p>　　4.1馬爾可夫鏈在股市分析中的應用17</p><p>　　5 對馬爾可夫鏈理論及其在股市應用的進一步研究20</p><p>　　5.1加權馬爾可夫鏈在股市分析中的應用20</p><p><b>　　6 總結(jié)2

11、5</b></p><p><b>　　參考文獻27</b></p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　1 前言</b></p><p>　　馬爾可夫鏈最初是由俄國數(shù)學家Markov于1906年的研究而得名, Kolmogorov, Feller和Doo

12、b等數(shù)學家們繼續(xù)發(fā)展了這一理論, 它是隨機過程的重要的組成部分, 同時它在自然科學、工程技術、金融及經(jīng)濟等各領域中都有著廣泛的應用. 而本文主要介紹關于馬爾可夫鏈在經(jīng)濟領域中的應用, 主要體現(xiàn)在以下幾個方面</p><p>　　(1) 馬爾可夫鏈在宏觀經(jīng)濟形式的變化、企業(yè)市場占有率及期望利潤的變化過程[1]都具有隨機性和”無后效性”, 符合馬爾可夫鏈的的應用要求. 在對它們進行預測時, 馬爾可夫鏈預測方法不需要連

13、續(xù)不斷的歷史數(shù)據(jù), 只需要近期的資料就可以采用馬爾可夫鏈來描述. 馬爾可夫鏈是預測市場的占有率和期望利潤的有力工具. </p><p>　　(2) 單支股票的預期收益時間序列、整個證劵市場的股指、證券組合的綜合價格和預期收益時間序列[2]都符合馬氏性. 把證券市場的市價和各種收益的變化的時間序列視為馬爾可夫鏈, 則可按轉(zhuǎn)移概率, 根據(jù)當前的狀態(tài)預測以后的狀態(tài)預測以后的狀態(tài), 從而采取相應的策略, 這就是運用馬爾可

14、夫鏈的方法進行股市分析的基本思想. </p><p>　　(3) 股票價格的回歸[3], 利用馬氏鏈可以對股票的價格進行分析和預測. 將隨機時間序列分解成趨勢變動序列和馬爾可夫鏈, 建立了回歸一馬爾可夫組合預測模型, 并對此模型編制成通用計算機程序, 以此預測股票價格取到某個區(qū)間的概率分布、平穩(wěn)分布, 股票價格的均值以及股票價格的平均漲落時間. </p><p>　　(4) 對股市行情的預

15、測[4]. 將馬爾可夫過程理論, 應用于股票交易市場, 對股價綜合指數(shù)的漲(跌)幅度, 進行狀態(tài)分類, 建立起對市場運行周期、穩(wěn)態(tài)概率、穩(wěn)定程度、投資利潤等的分析預測模型, 并利用這一模型對上海證券交易所股價綜合的部分歷史數(shù)據(jù)作了相應的分析, 得到了較為理想的結(jié)果. </p><p>　　(5) 市場占有率及期望利潤的馬爾可夫鏈預測[5]. 運用馬爾可夫鏈理論對商品銷售的市場占有率預測和期望利潤預測進行了研究,

16、實例表明: 馬爾可夫鏈是預測市場占有率和期望利潤的有力工具. </p><p>　　馬爾可夫隨機過程在經(jīng)濟領域應用廣泛, 尤其在金融方面, 本文由此重點介紹其在股市分析中應用.</p><p>　　股民一直希望從研究股票市場價格的變化中找出一些規(guī)律, 使自己損失最小, 收益最大. 但是股票市場是一個復雜的非線性動力系統(tǒng), 受到很多隨機因素的交互影響, 從而使股票的價格漲落也呈現(xiàn)出不確定性,

17、 對于股票未來價格的精確預測非常困難, 也可以說是不可能的, 但對于短期某種程度的預測則相對較為簡單, 而且對投資者的投資行為具有重要的指導意義. 常規(guī)的經(jīng)濟預測方法在用于股價的預測過程中存在著種種缺陷. 本文引入馬爾可夫預測法, 運用狀態(tài)劃分方法預測股價未來所處的狀態(tài), 從另一個角度來簡化預測工作量, 探索新的預測成果. 通過在實際股價預測中的應用, 驗證了這種方法的優(yōu)勢, 取得了比較滿意的實證結(jié)果.</p><p

18、>　　本文主要介紹關于馬爾可夫鏈的理論及其在經(jīng)濟領域的應用, 文章首先介紹了馬爾可夫鏈的基本理論, 研究了馬爾可夫鏈傳統(tǒng)的預測方法, 比較馬爾可夫鏈預測方法與其它定量統(tǒng)計預測方法的區(qū)別; 接著建立了馬爾可夫鏈理論在股市分析應用的數(shù)學模型, 并以此來對股價的運動特征和漲落的時間周期進行定量分析;  其次對傳統(tǒng)馬爾可夫理論進行改進, 介紹了加權馬爾可夫鏈的理論及其預測方法, 而且付于經(jīng)濟領域的具體實踐中. 最后為了進一步提高

19、馬爾可夫鏈預測方法的科學性, 合理性和準確性, 提出了值得進一步研究的幾個方面內(nèi)容.</p><p>　　2 馬爾可夫鏈的基本性質(zhì)</p><p>　　馬爾可夫鏈是一種特殊的隨機過程, 最初由俄國數(shù)學家Markov于1906年的研究而得名,之后Kolmogorov，F(xiàn)eller和Doob等數(shù)學家繼續(xù)發(fā)展了這一理論. 它的直觀背景如下: 設有一隨機運動的系統(tǒng)(例如運動著的質(zhì)點等), 它可能處

20、的狀態(tài)為, 總共有可數(shù)個或者有窮個. 這系統(tǒng)只可能在時刻上改變它的狀態(tài). 隨著的運動進程, 定義一列隨機變量其中, 即在時刻時，位于.</p><p>　　實際中常常碰到具有這樣性質(zhì)的運動系統(tǒng). 如果已知它在時的狀態(tài), 則關于它在時以前所處的狀態(tài)的補充知識, 對預言在時以后所處的狀態(tài)不起任何作用. 或者說在已知的“現(xiàn)在”的條件下, “將來”與“過去”是無關的. 這種性質(zhì), 就是直觀意義上的“馬爾可夫性”或者稱為“

21、無后效性”.</p><p>　　2.1馬爾可夫鏈的基本概念</p><p>　　假設馬爾可夫過程的參數(shù)集是離散的時間集合, 即, 其相應可能取值的全體組成的狀態(tài)空間是離散的狀態(tài)空間.</p><p>　　定義 2.1 設有隨機過程, 若對任意的整數(shù)和任意的, 條件概率滿足</p><p>　　, (2.1)</p>&l

22、t;p>　　則稱為馬爾可夫鏈, 簡稱為馬氏鏈.</p><p>　　定義 2. 2 條件概率</p><p><b>　　,</b></p><p>　　稱為馬爾可夫鏈在時刻的一步轉(zhuǎn)移概率, 基中，簡稱為轉(zhuǎn)移概率.</p><p>　　一般地, 轉(zhuǎn)移概率不僅與有關, 而且與時刻有關. 當不依賴于時刻時,表示馬爾可夫

23、鏈具有平衡轉(zhuǎn)移概率. 若對任意的, 馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率與無關, 則稱馬爾可夫鏈是齊次的. 應用上主要研究齊次馬爾可夫鏈, 本文只研究齊次馬爾可夫鏈. </p><p>　　定義2.3 設表示一步轉(zhuǎn)移概率所組成的矩陣, 且狀態(tài)空間, 則</p><p><b>　　,</b></p><p>　　稱為馬爾可夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣. 它具有以下性

24、質(zhì)</p><p>　　(1) ; (2) .</p><p>　　為進一步討論馬爾可夫鏈的統(tǒng)計性質(zhì), 我們給出步轉(zhuǎn)移概率, 初始分布和絕對分布的概念.</p><p>　　定義2.4 齊次馬氏鏈, 條件概率稱為馬爾可夫鏈在時刻的n步轉(zhuǎn)移概率, 對于齊次馬爾可夫鏈, 它與無關，記為, 矩陣為.</p><p>　　定義2.5 齊次馬氏鏈

25、, 稱</p><p><b>　　()</b></p><p>　　即的概率分布, 為齊次馬氏鏈的初始分布. 其中, 且, 記</p><p><b>　　.</b></p><p>　　定義2.6 齊次馬氏鏈, 稱</p><p><b>　　,</b&

26、gt;</p><p>　　即的概率分布, 為齊次馬氏鏈的絕對分布. 其中, 且, 記.</p><p>　　2.2切普曼-柯爾莫哥洛夫方程</p><p>　　在上一節(jié)中, 定義了馬爾可夫鏈和一步, n步轉(zhuǎn)移概率. 下面定理表明可以通過過程的一步轉(zhuǎn)移矩陣求出.</p><p>　　定理2.1 切普曼-柯爾莫哥洛夫方程, C-K方程) 對任

27、何整數(shù), 有</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　或</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　證明</b></p><p>　　推論 (1) ;</p&g

28、t;<p><b>　　(2) ;</b></p><p>　　證明 (1)式顯然. (2)式證明如下:</p><p><b>　　.</b></p><p>　　(2)式說明絕對分布由初始分布和轉(zhuǎn)移概率確定.</p><p>　　定理2.2 齊次馬氏鏈的有限維分布由初始分布和轉(zhuǎn)

29、移概率確定, 且滿足</p><p>　　. (2.2)</p><p><b>　　證明</b></p><p>　　因此, 只要知道知道初始概率和一步轉(zhuǎn)移概率, 就可以知道馬爾可夫鏈的統(tǒng)計特性.</p><p>　　2.3 馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類</p><p>　　本節(jié)將討論齊次馬氏鏈的

30、狀態(tài)分類問題, 這有助于我們了解馬爾可夫鏈的性質(zhì), 有助于研究n步轉(zhuǎn)移概率的漸近性.</p><p>　　定義2.7 對于，若存在自然數(shù), 使, 則稱自狀態(tài)出發(fā)可達狀態(tài),記為. 如果, 且，則稱相通, 記為.</p><p>　　命題2.1 狀態(tài)互通關系是一等價關系, 即互通關系滿足:</p><p>　　(1) 自反性 ;</p><p&

31、gt;　　(2) 對稱性 若, 則;</p><p>　　(3) 傳遞性 若, 且, 則.</p><p>　　證明 (1), (2)式顯然; 下面證(3)式.</p><p>　　因為, , 所以存在, 使.</p><p><b>　　由C-K方程</b></p><p><b>

32、;　　, </b></p><p>　　這里, 所以成立. 同理可證成立.</p><p>　　定義2.8[6] 如果集合, 稱該數(shù)集的最大公約數(shù)為的周期. 如果, 稱狀態(tài)為周期的. 如果, 稱狀態(tài)為非周期的.</p><p>　　命題2.2[7] 如果Markov鏈狀態(tài)的周期為, 則存在正整數(shù), 對一切, 有.</p><p&g

33、t;　　證明 設, 令的最大公約數(shù),則</p><p><b>　　,</b></p><p>　　故存在正整數(shù), 使得, 因此的最大公約數(shù). 從而存在正整數(shù), 對一切, 由初等數(shù)論有</p><p><b>　　(為正整數(shù)). </b></p><p><b>　　由于, 因而當時&l

34、t;/b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　定義2.9 從狀態(tài)出發(fā)經(jīng)過步首次到達狀態(tài)的時刻</p><p><b>　　,</b></p><p>　　稱為首達時刻. 如右邊為空集，則令.</p><p>　　定義2.10 從狀態(tài)出發(fā)經(jīng)過

35、步首次到達狀態(tài)的概率</p><p><b>　　.</b></p><p>　　稱為首達概率. 再令, 它表示過程從狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限步到達狀態(tài)的概率, 即從狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限步終于到達狀態(tài)的概率.</p><p>　　定理2.3 對任意狀態(tài)，及，有</p><p>　　.

36、 (2.3)</p><p>　　證明 設系統(tǒng)從狀態(tài)出發(fā)經(jīng)步到達狀態(tài), 則</p><p>　　定理2.4討論了首達概率與轉(zhuǎn)移概率之間的關系, 此定理和C-K方程是馬氏鏈的關鍵公式.</p><p>　　命題2.3 對任意狀態(tài), 的充要條件是. </p><p>　　證明 充分性. 如果, 則存在, 使得 由公式(2.3)有</

37、p><p><b>　　,</b></p><p>　　從而至少有一個為正, 所以.</p><p>　　必要性. 如果, 由, 至少有一個, 使得. 由公式(2.3)有</p><p><b>　　, </b></p><p>　　即說明成立, 證畢. </p>

38、<p>　　推論 的充分必要條件是, 且. </p><p>　　定義2.11 若, 稱狀態(tài)為常返態(tài); 若, 稱狀態(tài)為非常返態(tài)（或稱為瞬時態(tài)滑過態(tài)).</p><p>　　定義2.12 如果, 此時, 可以看作一個對首次返回時間進行統(tǒng)計的概率分布, 因此, 定義, 則表示從狀態(tài)出發(fā)再回到狀態(tài)的平均回轉(zhuǎn)時間. 若, 稱狀態(tài)為正常返態(tài); 若，稱狀態(tài)為零常返態(tài).</p&g

39、t;<p>　　定理2.5[8] 狀態(tài)是常返的充要條件是</p><p>　　, (2.4)</p><p>　　狀態(tài)是非常返的充要條件是</p><p>　　, (2.5)</p><p>　　證明 引入與序列相應的母

40、函數(shù)</p><p>　　, 同時引入序列相應的母函數(shù), 級數(shù)在時絕對收斂.</p><p>　　利用式(5-3)可得. 令, 則或. 令, 并注意, 即可得結(jié)論.</p><p>　　命題2. 4[9] 當狀態(tài)是正常返時, ; 當狀態(tài)是零常返時，</p><p><b>　　.</b></p><

41、p>　　根據(jù)定理2.3.2和命題2.3.4, 就可以判斷狀態(tài)的所處況.</p><p>　　定理2.6 如果, 則</p><p>　　(1) 與同為常返或非常返, 如果為常返, 則它們同為正常返或零常返; </p><p>　　(2) 與有相同的周期.</p><p>　　證明 (1)由于, 由可達定義知存在, 使得. 由C-K方程知

42、道</p><p><b>　　, </b></p><p>　　將上兩式的兩邊對求各, 得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　可見相互控制, 所以它們同為有限或者無窮, 所以它們同為常返或者非常返,又對取極限, 得到</p><p><b&g

43、t;　　, ;</b></p><p>　　因此與同為0或者同為正, 所以它們同為零常返或者正常返.</p><p>　　(2) 仍令, 設的周期為, 的周期為. 由(1)式證明可知,對任一使的, 必然有, 從而, 又因為</p><p><b>　　,</b></p><p>　　所以, 推出, 說明.

44、同理可證.</p><p>　　下面我們給出與狀態(tài)的關系.</p><p>　　命題2. 5[10] (1) 當狀態(tài)是正常返時, 對任一狀態(tài), 有; </p><p>　　(2) 當狀態(tài)是正常返時, 從狀態(tài)可達狀態(tài), 則; </p><p>　　(3) 當狀態(tài)是正常返時, 從狀態(tài)不可達狀態(tài), 則;</p><p>　　

45、(4) 當狀態(tài)是零常返時, 對任一狀態(tài), 有;</p><p>　　(5) 當狀態(tài)是非常返時, 對任一狀態(tài), 有.</p><p><b>　　2.4 極限定理</b></p><p>　　考慮一個馬爾可夫質(zhì)點( 即此質(zhì)點運動具有無后效性 ), 其從任意的狀態(tài)開始運動, 經(jīng)過了步數(shù)充分大的運動之后, 質(zhì)點的極限狀態(tài)是什么? 在物理學中, 這是一

46、個運動的漸進穩(wěn)定性的問題.</p><p>　　下面給出馬爾可夫鏈中幾個重要的極限定理. 首先, 接著上一節(jié)的討論我們可以給出如下的定理(證明見[11]). </p><p>　　定理2.7若是常返態(tài), 則是零常返態(tài)的充要條件是:</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　若是常返態(tài),

47、 則</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　根據(jù)以上討論, 就可用的極限來判斷返態(tài)是正常返還是零常返, 其方法如下:</p><p>　　(1) 是瞬時態(tài),（此時）; </p><p>　　(2) 是零常返態(tài), 且; </p><p>　　(3) 是正

48、常返, 且. </p><p>　　定理2.8 設馬氏鏈狀態(tài)空間為. </p><p>　　(1) 若而且為常返態(tài), 則同為正常返態(tài)或同為零常返態(tài); </p><p>　　(2) 不可約的有限齊次馬氏鏈的狀態(tài)都是正常返. </p><p>　　定理2.9 若與互通, 則有</p><p><b>　　;&l

49、t;/b></p><p><b>　　; </b></p><p>　　若是非周期的, 則; </p><p><b>　　若有周期, 則. </b></p><p>　　下面介紹遍歷性和平穩(wěn)分布. 首先給出相關的定義.</p><p>　　定義2.13設馬氏鏈狀態(tài)空

50、間為, 若對一切的 存在不依賴于的常數(shù), 使得</p><p>　　, (2.6)</p><p>　　就稱此馬氏鏈具有遍歷性, 其中 是馬氏鏈n 步轉(zhuǎn)移概率. </p><p>　　遍歷性在馬氏鏈理論中是一個很重要的問題, 其表明具有遍歷性的馬氏鏈, 從系統(tǒng)的任一狀態(tài)i出發(fā), 當轉(zhuǎn)移的步數(shù)n充分大的時候, 系統(tǒng)轉(zhuǎn)

51、移到狀態(tài)j的概率都近似等于 . </p><p>　　也就是說, 經(jīng)歷一段時間之后, 系統(tǒng)達到平穩(wěn)狀態(tài). </p><p>　　設馬氏鏈狀態(tài)空間為, 我們把概率分布</p><p><b>　　,</b></p><p>　　稱作絕對分布. 顯然, 絕對分布滿足一般概率分布的兩個條件: </p><p

52、>　　(1) 非負性: ; </p><p><b>　　(2) . </b></p><p>　　對于絕對分布, 具有</p><p><b>　　所以, 得</b></p><p>　　. (2.7)</p><p>　　如果絕對

53、分布和n無關, 即</p><p><b>　　, </b></p><p>　　則稱概率分布是馬氏鏈的定態(tài)分布. 于是</p><p>　　. (2.8)</p><p>　　定義2.14 若有一個概率分布, 即有</p><p><b&

54、gt;　　, </b></p><p><b>　　滿足</b></p><p>　　, (2.9)</p><p>　　就稱為馬氏鏈的平穩(wěn)分布. </p><p>　　定理2.10 設馬氏鏈狀態(tài)空間為 如果存在正整數(shù), 使對一切的都有</p>

55、<p><b>　　,</b></p><p>　　則此馬氏鏈是遍歷的, 而且是方程組</p><p>　　, (2.10)</p><p><b>　　滿足條件</b></p><p>　　,

56、 (2.11)</p><p><b>　　的唯一解. </b></p><p>　　定理2.10給出了一個判別有限狀態(tài)馬氏鏈具有遍歷性的準則與求解平穩(wěn)分布的方法, 下面的定理2.11又給出了另外一個判別準則和求解平穩(wěn)分布的方法[3]. </p><p>　　定理2.11 假設是狀態(tài)空間是的不可約非周期正常返馬氏鏈, 則此馬氏鏈是

57、遍歷的, 即對都具有</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　且有</b></p><p>　　(1) 即是從狀態(tài)j出發(fā)首次返回狀態(tài)j的平均時間的倒數(shù);</p><p>　　(2) 是滿足方程組</p><p><b>　　,</

58、b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　的唯一解.</b></p><p>　　3 馬爾可夫鏈預測方法研究</p><p>　　3.1 傳統(tǒng)的馬爾可夫鏈預測方法</p><p>　　本節(jié)介紹兩種傳統(tǒng)馬爾可夫鏈預測方法, 傳統(tǒng)的馬爾可夫鏈

59、預測方法無非就是利用絕對分布做預測; 或利用各階(各種步長)馬爾可夫鏈的絕對概率的疊加來做預測. </p><p>　　下面是基于絕對分布的馬爾可夫鏈預測方法: </p><p>　　對一列相依的隨機變量, 用步長為一的馬爾可夫鏈模型和初始分布來推算出未來時段的絕對分布來做預測分析, 即為傳統(tǒng)馬爾可夫鏈預測方法之一, 可稱其為“基于絕對分布的馬爾可夫鏈預測方法”,記其為“ADMCP法”[1

60、2]. 其具體方法步驟如下: </p><p>　　(1) 計算指標值序列均值, 均方差s, 建立指標值分級標準(相當于確定馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間), 可以根據(jù)資料序列的長短及具體問題的要求進行. 例如, 以樣本均方差為標準( 也可用有序聚類的方法建立分級標準等 ) 將指標值分級, 即用下文中指出的方法確定馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間; </p><p>　　(2) 按“(1)”建立的分級標準, 確

61、定資料序列中各時段指標值所對應的狀態(tài); </p><p>　　(3) 對“(2)”得的結(jié)果進行統(tǒng)計計算, 可得到步長為一的馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣, 其決定了指標值狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程的概率法則; </p><p>　　(4) “馬氏性”檢驗(實際應用工作者使用該方法時, 一般都不做這一步, 本文加上這一步意在更加完善“ADMCP法”); </p><p>　　(5) 如果

62、以第l時段作為基期, 該時段的指標值屬于狀態(tài), 則可以認為初始分布為</p><p><b>　　, </b></p><p>　　這里是一個單位行向量, 其第個分量為1, 其余分量全都為0. 于是第時段的絕對分布為:</p><p>　　, </p><p>　　第時段的預測狀態(tài)滿足: ; 為了

63、預測第時段的狀態(tài), 則可由</p><p>　　, </p><p>　　得出所預測的狀態(tài)滿足: </p><p>　　. </p><p>　　(6) 可進一步對該馬爾可夫鏈的特征( 遍歷性、平穩(wěn)分布等) 進行分析. </p><

64、p>　　下面介紹疊加馬爾可夫鏈預測方法.</p><p>　　相對于一列相依的隨機變量, 利用各階(各種步長)馬爾可夫鏈求出的絕對分布疊加來做預測分析, 也是傳統(tǒng)的馬爾可夫鏈預測的方法之一, 可稱之為“疊加馬爾可夫鏈預測方法”，記其為“SPMCP法”[12]. 其具體的方法步驟如下: </p><p>　　(1) 計算指標值序列均值, 均方差s, 建立指標值分級標準(相當于確定馬爾可

65、夫鏈的狀態(tài)空間), 可根據(jù)資料序列的長短和具體問題的要求進行; </p><p>　　(2) 按“(1)”建立的分級標準, 確定資料序列中各時段指標值所對應的狀態(tài); </p><p>　　(3) 對“(2)”得的結(jié)果進行統(tǒng)計, 可得不同滯時(步長)的馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣, 它決定了指標值狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程的概率法則; </p><p>　　(4) “馬氏性”檢驗(實際

66、應用工作者使用該方法時, 一般也不做這一步, 本文加上這一步同樣意在更加完善“SPMCP法”); </p><p>　　(5) 分別以前面若干時段指標值為初始狀態(tài), 結(jié)合其相應的各階轉(zhuǎn)移概率矩陣即可預測該時段指標值的狀態(tài)概率, k為滯時(步長), ; </p><p>　　(6) 將同一狀態(tài)下的各預測概率求和作為指標值處于該狀態(tài)的預測概率, 即</p><p>　　

67、, </p><p>　　對應的i即為該時段指標值的預測狀態(tài). 待該時段的指標值在確定之后, 將</p><p>　　其加入到原序列之中, 再重復步驟"(1)一(6)", 就可進行下時段指標值狀態(tài)的預測. </p><p>　　(7) 可進一步對該馬爾可夫鏈的特征(遍歷性、平穩(wěn)分布等)進

68、行分析. </p><p>　　3.2馬爾可夫鏈與其他定量統(tǒng)計預測方法的區(qū)別</p><p>　　同一現(xiàn)象在不同時間的相繼觀察值排列而成的序列, 稱為時間序列. 在用于描敘和探索隨機變量的時間序列發(fā)展變化的數(shù)量規(guī)律性的諸多方法中, 馬爾可夫鏈預測法雖然也用到數(shù)學模型, 但它與其他定量預測方法如移動平均法、回歸預測方法、指數(shù)平滑法等是不同的, 主要表現(xiàn)在:</p><p&

69、gt;　　第一, 兩類預測方法的性質(zhì)不同. 馬爾可夫鏈是運用數(shù)學模型, 對定性問題進行概率預測, 其它定量的統(tǒng)計預測方法則是運用數(shù)學模型對定量問題進行預測.</p><p>　　第二, 兩類預測方法的依據(jù)不同, 馬爾可夫鏈預測的依據(jù)是經(jīng)濟系統(tǒng)當前的狀態(tài)概率和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率, 而其它定量預測方法的依據(jù)是經(jīng)濟系統(tǒng)的歷史數(shù)據(jù).</p><p>　　第三, 兩類方法預測結(jié)果誤差產(chǎn)生的原因不同, 馬爾

70、可夫鏈法預測結(jié)果的誤差, 是狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率測定不準和對系統(tǒng)初始狀態(tài)劃分不科學造成的, 其它方法預測結(jié)果的偏差主要是系統(tǒng)未來的環(huán)境與歷史數(shù)據(jù)產(chǎn)生環(huán)境的差別以及數(shù)學模型的錯誤選擇造成的. 所以馬爾可夫鏈預測方法成敗的關鍵是系統(tǒng)狀態(tài)的科學劃分、初始狀態(tài)的判定和狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)概率的測定, 其它定量預測方法成敗的關鍵是歷史數(shù)據(jù)的取得和數(shù)學模型的選擇.</p><p>　　4 傳統(tǒng)馬爾可夫鏈在經(jīng)濟領域的應用</p>

71、<p>　　在企業(yè)的生產(chǎn)、經(jīng)營、管理、決策等工作中, 經(jīng)常會遇到這樣的情況: 事物未來的發(fā)展及演變狀態(tài)僅僅事物現(xiàn)狀的影響, 而與過去的狀態(tài)無關, 也就是具有馬爾可夫性. 本章運用馬爾可夫理論預測股票價格, 建立其隨機過程模型, 使決策的長期效益趨于最優(yōu), 通過實例檢驗, 證明了此模型的可行性和實用性. 運用馬爾可夫過程理論, 對未來股價走勢和股指未來的突破方向進行了研究, 對其他預測方法作了有益的補充.</p>

72、<p>　　4.1馬爾可夫鏈在股市分析中的應用</p><p>　　近來許多學者嘗試著將馬爾可夫鏈應用于股價預測并建立了一些數(shù)學模型, 但很少有人</p><p>　　用馬氏鏈的理論和方法來對股市進行綜合分析與研究[13]. 本節(jié)運用馬爾可夫鏈理論預測股票價格分析股市, 提出了股價運行周期和投資收益的最大化理論, 并建立其隨機過程模型使決策的長期效益趨于最優(yōu). 通過實例檢驗,

73、證明了此模型的可行性和實用性. 如果把證券市場的市價和各種收益的變化的時間序列視為馬爾可夫鏈, 則可按轉(zhuǎn)移概率, 根據(jù)當前的狀態(tài)預測以后的狀態(tài), 從而采取相應的策略, 這就是運用馬爾可夫鏈的方法進行股市分析的基本思想.首先介紹轉(zhuǎn)移概率的計算和馬氏性檢驗.</p><p>　　用表示在中從狀態(tài)i經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的頻數(shù), 并將()n×n的第j列之和除以各行各列的總和所得到的值記為, 即</p>

74、;<p>　　則當較大時, 統(tǒng)計量</p><p>　　, </p><p>　　服從自由度為 的分布. 選定了置信度α，查表得,若, 則可以認為符合馬爾科夫性, 否則認為該過程不是馬爾可夫鏈. 同時為了能更好地從數(shù)學上說明問題, 我們補充假定:股市的運行不受任何投資者的操縱, 只受全球或地區(qū)的經(jīng)濟、政治、社會等各種隨即因素的影響, 證券管理部門的宏觀

75、政策是平穩(wěn)的.</p><p>　　經(jīng)過檢驗我們發(fā)現(xiàn): 不僅單支股票價格變化的時間序列可以看作是一個馬爾可夫過程而且單支股票的預期收益時間序列、整個證券市場的股指、證券組合的綜合價格與預期收益時間序列都符合馬氏性. 因此, 針對我國股市波動幅度較大, 受較多不規(guī)范因素的影響而表現(xiàn)出極強的隨機性, 我們可以考慮將馬爾可夫鏈引入到上述的各方面, 探討更加切合我國證券市場實際的投資策略. 下面給出馬爾可夫模型的建立.&

76、lt;/p><p>　　利用股市的歷史資料, 統(tǒng)計得出連續(xù)兩個時間段內(nèi), 前一時間段股價處于i區(qū), 后一時間</p><p>　　股價處于j區(qū)的概率j(i,j∈E), 構(gòu)造一步轉(zhuǎn)移概率矩陣. 其中且.由(2)式知, k 步轉(zhuǎn)移概率矩陣 為:</p><p>　　,　　　　　　　 （4.1）</p><p>　　記概率向

77、量為第t個時間段股價的絕對概率向量, 其中表示第t個時間段股價處于第i(i∈E) 區(qū)的絕對概率, 根據(jù)(3)式知, 股價第t+k 個時段(k ∈ T)的絕對概率向量</p><p>　　, （4.2）</p><p>　　若給定初始概率向量則由上式可知t 個時間段后的股價預測的馬爾科夫過程模型為:</p><p>　　,

78、 (4.3）</p><p>　　因此, 可在已知初始概率向量的情況下, 對于任意時間段后股價所處的區(qū)間的概率分布做出預測.</p><p>　　運[14]用馬爾可夫鏈預測樂山電力的價格變化趨勢</p><p>　　表1 樂山電力2007年10月17日—2007年11月19日24個交易日的收盤價格</p>

79、<p>　　將這24 個收盤價格劃分為4 個區(qū)間（由低到高每區(qū)間1.0 個價格單位）, 得到區(qū)間狀態(tài)為:i(10.5 以下）, j(10.5～11.5）, k（11.5～12.5）, l(12.5 以上）, 由以上資料得到這24個交易日的收盤價格狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況如下表:</p><p>　　表2 上述24個交易日的收盤價格狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況</p><p><b>　　由&

80、lt;/b></p><p>　　可計算出各狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率矩陣:</p><p>　　由表1 知, 第24 個交易日的收盤價為10.85 (即為j 狀態(tài)區(qū)間）, 所以用馬爾科夫鏈進行預測時初始概率向量為: p(0)=(0,1,0,0), 由(3)式可計算出第24 個交易日以后各天的股價.</p><p>　　由(3)式可得p(2),p(3),?,p(n).

81、 由p(1)可知第25個交易日的收盤價處于j 狀態(tài)區(qū)間的概率最大, 這與實際情況11.01 一致.</p><p>　　5 對馬爾可夫鏈理論及其在股市應用的進一步研究</p><p>　　5.1加權馬爾可夫鏈在股市分析中的應用</p><p>　　近年來, 許多學者將馬爾可夫鏈理論應用于股票市場的價格預測并建立了一些數(shù)學模型, 用馬爾可夫鏈的方法來對股市進行分析與研

82、究, 這些對股價、持股時間、投資收益等方面進行定量分析的方法因其對歷史數(shù)據(jù)依賴較少、準確性較高、對各種分布均具有適應性而受到了許多學者和股票投資者的歡迎[15]. 然而, 運用傳統(tǒng)的馬爾可夫鏈方法進行股市分析也有其難以回避的不足和缺陷, 比如我們無法證明此馬爾可夫鏈滿足齊次性、轉(zhuǎn)移概率矩陣的調(diào)整難度極大、其預測的準確性受客觀因素的影響太大等等. 本文試圖在克服這些困難方面做一些嘗試, 運用加權馬爾可夫鏈理論建立股票市場運行的數(shù)學模型,

83、既吸收了傳統(tǒng)的馬爾可夫鏈方法的優(yōu)點, 又借助了相關分析方法的長處并充分發(fā)揮了歷史數(shù)據(jù)的作用, 希望能對投資者采取科學的投資策略起到更大的幫助作用. 首先給出加權馬爾可夫鏈預側(cè)的理論.</p><p>　　由于每個時段的股票價格序列是一列相依的隨機變量, 各階自相關系數(shù)刻畫了各種滯時(各個時段)的股票價格之間的相關關系的強弱. 因此可考慮先分別依其前面若干時段的股票價格(對應的狀態(tài))對該時間段股票價格的狀態(tài)進行預測

84、, 然后, 按前面各時段與該時段相依關系的強弱加權求和來進行預測和綜合分析, 即可以達到充分、合理地利用歷史數(shù)據(jù)進行預測的目的, 而且經(jīng)這樣分析之后確定的投資策略也應該是更加合理的. 這就是加權馬爾可夫鏈預測的基本思想. 其具體步驟如下:</p><p>　　步驟1將股票價格序列由小到大排列, 運用有序聚類生成股票價格的分級標準;</p><p>　　步驟2按步驟1所生成的分級標準, 確定

85、各時段股票價格所處的狀態(tài);</p><p>　　步驟3 “馬氏性”檢驗和齊次性檢驗;</p><p>　　步驟4 計算各階自相關系數(shù)；</p><p><b>　　(5.1)</b></p><p>　　式中表示第階(滯時為個時段的)自相關系數(shù), 表示第時段的股票價格, 為股票價格均值. 表示股票價格序列的長度.<

86、/p><p>　　步驟5對各階自相關系數(shù)規(guī)范化, 即把</p><p>　　, (5.2)</p><p>　　作為各種滯時(步長)的馬爾可夫鏈的權重(m為按預測需要計算到的最大階數(shù), 通常取為狀態(tài)空間的階數(shù));</p><p>　　步驟6 對步驟5所得的結(jié)果進行統(tǒng)計, 可得不同滯時(步

87、長)的馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣,它決定了股票價格狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程預測的概率法則.</p><p>　　步驟7分別以前面若干時間段的股票價格為初始狀態(tài), 結(jié)合其相應的轉(zhuǎn)移概率矩陣即可預測出該時段股票價格的狀態(tài)概率只,, 為滯時(步長), .</p><p>　　步驟8將同一狀態(tài)的各預測概率加權和作為股票價格處于該狀態(tài)的預測概率, 即</p><p><b>　

88、　, ,</b></p><p>　　表1 30個交易日的收盤綜合指數(shù)</p><p>　　所對應的i即為該時段股票價格狀態(tài)的預測. 待該時段股票價格的狀態(tài)確定后, 將其加入原序列, 再重復步驟1~8, 可進行下一時段股票狀態(tài)的預測.</p><p>　　步驟9 可進一步對該馬爾可夫鏈的特征(遍歷性、平穩(wěn)分布等)和最佳持股時間、股票投資策略等進行分析.

89、下面給出應用實例分析馬爾可夫鏈的應用.</p><p>　　本節(jié)以上海證券交易所的2006年9月21日到11月9日, 30個交易日的收盤綜合指數(shù)來預測下后幾個交易日的交易指數(shù).</p><p>　　(1) 將收市指數(shù)從小到大排列可分為5個區(qū)間如（表2）;</p><p><b>　　表2收市指數(shù)</b></p><p>

90、　　(2) 確定各時段收市指數(shù)的狀態(tài)如(表1的狀態(tài)欄）;</p><p>　　(3) 經(jīng)驗證, 單支股票價格變化的時間序列、整個證券市場的股指、證券組合的綜合價格時間序列、股票的投資收益率時間序列都符合馬氏性;</p><p>　　(4) 計算出此收市綜合指數(shù)序列的各個自相關系數(shù)(③式中的);</p><p>　　(5) 根據(jù)各相關系數(shù)規(guī)范化后作為馬爾可夫鏈的權重(

91、②式中的);</p><p>　　表3 相關系數(shù)規(guī)范化后的馬爾可夫鏈的權重</p><p>　　(6) 計算出長的轉(zhuǎn)移矩陣如下（表4）;</p><p><b>　　, ,</b></p><p>　　, ,</p><p><b>　　.</b><

92、;/p><p>　　(7) 根據(jù)11-3到11-9日5個交易日的交易綜合指數(shù)及其相應的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣對11-10日的收市綜合指數(shù)預測(表4).</p><p>　　表4 根據(jù)11-3到11-9日5個交易日的交易綜合指數(shù)</p><p>　　(8) 由圖4可知, .此時i=3, 即上海證券交易所11-10日的收市綜合指數(shù)狀態(tài)為5, 即收市綜合指數(shù)X滿足: ,11-10

93、日的實際收市綜合指數(shù)為1883.35.</p><p>　　同理我們可以根據(jù)11-6到11-10日的交易綜合指數(shù)算出11-13日的綜合指數(shù)為5, 滿足的條件. 11-13 的實際綜合指數(shù)為1863.77, 兩次計算都是準確的.</p><p>　　(9) 對以上各種步長的馬爾可夫鏈的特征分析可知, 此馬爾可夫鏈的所有狀態(tài)是互的、非周期的, 即它是一個不可約的正常返鏈. 由馬爾可夫鏈理論還可

94、知此鏈是遍歷的, 因此它存在唯一的平穩(wěn)分布(此時的平穩(wěn)分布也就是它的極限分布). 根據(jù)平穩(wěn)分布、極限分布和重現(xiàn)期的計算, 可求得各個狀態(tài)重現(xiàn)周期和出現(xiàn)的概率.</p><p><b>　　6 總結(jié)</b></p><p>　　本文總結(jié)了馬爾可夫鏈預測方法并應用于我國股市的預測, 針對無法證明此馬氏鏈滿足齊次性、轉(zhuǎn)移概率矩陣的調(diào)整難度極大、其預測的準確性受客觀因素的影響

95、太大等等. 本文試圖在克服這些困難方面做一些嘗試, 運用加權馬爾可夫鏈理論建立股票市場運行的數(shù)學模型, 既吸收了傳統(tǒng)的馬爾可夫鏈方法的優(yōu)點, 又借助了相關分析方法的長處并充分發(fā)揮了歷史數(shù)據(jù)的作用, 希望能對投資者采取科學的投資策略起到更大的幫助作用.</p><p>　　在用于自然和經(jīng)濟社會的各種預測方法中, 有回歸分析, 時間序列分析等. 當面對實際問題時, 如何選取合適有效的預測方法是我們首先要解決的問題.

96、作者認為在應用馬爾可夫鏈預測時, 要注意它的預測結(jié)果不是一個具體的值, 而是一個狀態(tài)(相當于一個區(qū)間), 因此非常適合非點值的狀態(tài)預測. 其次, 預測結(jié)果是一個狀態(tài)分布的概率, 并不是系統(tǒng)一定處于某狀態(tài), 而是處于該狀態(tài)的機率要大于其它狀態(tài). 這也與現(xiàn)實世界的不確定性相穩(wěn)合. 在進行馬氏鏈預測時, 還要注意環(huán)境因素的變化, 當變化導致系統(tǒng)不再按原來的規(guī)律運行時, 就應考慮預測方法的變更或狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的重新建立. 馬爾可夫鏈預測方法通常只

97、針對平穩(wěn)過程進行分析, 對非平穩(wěn)過程, 應先進行數(shù)據(jù)分析和變化, 轉(zhuǎn)化成新的平穩(wěn)過程后, 再用馬爾可夫鏈預測方法. </p><p>　　本文所取得的成果是比較初步的. 為了進一步提高馬爾可夫鏈預測方法的科學性, 合理性和準確性, 認為在以下幾個方面值得進一步研究:</p><p>　　(1) 如何更科學合理地對指標值進行分類. 本文主要使用了樣本均值-均方差分級法, 因為該方法意義明確,

98、 有一定的科學性, 相對于有序聚類與模糊聚類法的大量計算而言有一定的簡明性. 但肯定還有更為科學合理的指標值分類法, 如本文引用的MAICE方法就值得研究.</p><p>　　(2) 系統(tǒng)的各狀態(tài)經(jīng)過多次轉(zhuǎn)移后的狀態(tài)概率如何, 主要取決于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的估計.所以當環(huán)境變化時, 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣需要調(diào)整, 如何調(diào)整是繼續(xù)用計的方法還是用轉(zhuǎn)移矩陣的OLS估計, 哪種方法更好更適用也值得進一步研究.</p>

99、<p>　　(3) 運用加權馬爾可夫鏈分析預測股價, 較之傳統(tǒng)馬爾可夫理論,以各種步長的自相關系數(shù)為權, 以更加合理、充分地利用信息. 應用遍歷性定理計算序列的極限分布, 可以反映出股票價格序列的許多信息, 從而可以對計算的序列進行更多定性和定量的描述. 不足之處在于如何根據(jù)最后計算出的狀態(tài)概率求出股價的具體值計算量大, 有待于解決. 將模糊數(shù)學理論、最優(yōu)化理論和此法相結(jié)合, 可能是解決這一問題的有效工具.</p>

100、;<p>　　(4) 無論是傳統(tǒng)的馬爾可夫鏈預測方法還是加權馬爾可夫鏈預測方法, 都較適合中短期預測. 能否把馬爾可夫鏈預測理論推廣到長期預測, 同時能保持一定的精度的問題也值得深入研究.</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 齊進軍. 馬爾可夫鏈在經(jīng)濟管理上的應用 [J]. 工

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