數學科學的魅力與精髓-福州一中

1、魅力與精髓,數學科學的,南京大學數學系,蘇維宜,數 學,揭示宇宙的規(guī)律,用智慧的思維、嚴謹的邏輯,精湛的技巧、縝密的推理,我的目錄 —,一、連續(xù)統(tǒng)假設,與牛頓微積分,二、分數維數,與分形微積分,,先從一個故事開始 “驚天的成就” （王元的評價）,這樣的數列,由素數構成的等差數列,素數等差數列,稱為數列的長度,存在不存在 ？,為素數，,其中,為公差，,素數等差數列,數列,答案當然是肯定的 ！

2、 例如,項數,公差,,目前，計算機 能找到的 最長的 等差素數列 為,素數等差數列,非常非常大的素數,738,095,860 —— 7億3千8百零9萬…,素數等差數列,56萬2千1百13億8千3百76萬零3百97,44萬5千4百67億3千8百另9萬5千8百60,大約是1025萬億的數量級,等差素數列的存在性定理 定理：對于任意的,素數等差數列,,素數集必包含長度為,的等差素數列。,,“存在性” 的證

3、明 方法之難、技巧之高、 思維之精、理論之深 令人嘆為觀止 達到數學科學的頂峰。,素數等差數列,,世界輿論驚呼： “美麗的素數、偉大的證明” “一步登天的杰作” “驚天的杰作”,素數等差數列,“第二位華裔數學家出現 在

4、Fields獎壇上”,陶澤軒、 B. Green（澳大利亞華裔數學家） (美國)用調和分析、數論、遍歷理論等 證明了：任意長度 的 素數等差數列存在,陶澤軒、Green,,陶澤軒,陶澤軒,,31歲（2006年）獲 菲爾茲（Fields）獎 同年，獲麥克阿瑟天才基金。,陶澤軒,他的一本書：,分析學,給我以啟發(fā)，決定講下面的內容。,,中國老一輩、新一代的

5、 數學家們的期盼： “實現中國本土 Fields獎零的突破”,期盼,這個突破，歷史地,落到你們的肩上。,要達到科學的 頂 峰,必須 熱愛科學，熱愛數學 訓練從小開始 用心去學 就像鋼琴、體操、…,一、,連續(xù)統(tǒng)假設

6、 與牛頓微積分,從數集開始,自然數集,整數集,有限數集,非負數集,等等,,早在公元前500多年，古希臘的數學家畢達哥拉斯和以他為首的畢達哥拉斯學派，對“數”進行了研究，他們認為 一切數都可表示為 兩整數之比（quitient）至今還有人稱有理數為比例數,都是無限數集,把數放在“數軸”上,,,,,,,0,1,2,3,,,-1,-2,4,x,,,,,,,,幾個重要的問題,1、 何謂無限數集 ？2、無限

7、數集中元的 “個數” 是多少 ？無限數集能比多少否3、 比有理數集更大的數集 存在嗎 ？有不是有理數的數否,研究無限集及其中元的個數,自然數集與偶數集 哪個集的個數多 ？ 顯然,回答：自然數集比偶數集 多出一倍,用“一對一”比較,自然數集比作無限多個椅子 偶數集中每個數代表一個人,一人坐一個椅子，不多也不少,有理數竟然能與自然數一對一,以[0,1]中的有理數為例,

8、于是,無限集的定義,一個集合 ，若存在與它 一一對應的真子集,則稱其為無限集,自然數集“個數”,將自然數集作為無限數集的 標準集，稱其“個數”為 勢 cardinal number,記為 讀作 阿里夫零,下列數集都可建立一一對應,自然數集,整數集,有理數集,非負整數集,幾個無限集的勢,請同學們自行證明,勢的運算規(guī)則,德國數學家Cantor發(fā)現：冪運算

9、 也能推廣到“勢”,比阿里夫零更大的勢,代表 自然數集的全體子集 所構成的集的“勢”Cantor 證明了,,回顧無理數的誕生 畢達哥拉斯 古希臘（Pythagoras, 約BC580～BC500） 畢達哥拉斯學派對數學有巨大貢獻如數論、幾何（勾股定理）、數學的抽象思維研究方法等等。但卻頑固 堅持：任何數都是有理數,付出血的代價

10、 希帕索斯 的悲劇 （Hippasus） 相傳第一個發(fā)現 不能表示成分數的希帕索斯，被同一學派人投入大海而斃命。 習題：證明 不能表成分數,,越來越多的數學家發(fā)現了無理數，這使得數學家的思想認識發(fā)生混亂，導致數學史上有名的 “第一次數學危機”。,直到19世紀七十年代

11、，德國數學家 康托 （Cantor）、 戴德金（Dedekind）、 魏斯特拉斯（Weierstrass）分別獨立地提出了三種不同方式 定義無理數使 實數理論得以真正公理化。,無理數的勢,無理數誕生后， 數學家證明了 無理數的“勢”就是,證明方法非常巧妙,1、個數為 的有限集合 的

12、 所有子集共有 個,2、勢為 的無限集 的所有 子集設為 ，記為,構造一個集合,1、設 為 的所有子集的集合,2、設,為單點集所成的集,構造集合,導出矛盾?。ň毩曨}）,導出矛盾,是 的子集,從而導出矛盾！故得,是,的元,數學家的不斷努力，使數集不斷完善。 無理數的誕生使得數軸被 “填滿”，獲得了實數系,勢為阿里夫的集,基數阿里夫也稱為

13、 連續(xù)統(tǒng)基數,連續(xù)統(tǒng)假設,Cantor猜想 ——基數阿里夫與阿里夫零 之間不存在其他基數,Hilbert 23問題,1900年巴黎的第二次國際數學家大會上，Hilbert 提出舉世聞名的 23 問題，連續(xù)統(tǒng)假設顯赫地排在 第一個 。,Hilbert 23問題的答案,1966年美國數學家科恩 p.J. Cohen因證明連續(xù)統(tǒng)假設與ZF集合公理系統(tǒng)彼

14、此獨立彼此相容，而獲Fields獎,成為微積分的基礎,連續(xù)統(tǒng)假設是 獨立的現代邏輯工具更成為 牛頓微積分的基礎,連續(xù)統(tǒng)假設的本質,連續(xù)統(tǒng)假設與 ZF公理系統(tǒng) （Zermelo）- (Fraenkel) 彼此獨立,ZF公理系統(tǒng),1、 空集存在2、元素相同的集相等3、兩集的序對集（積集）存在4、集中的一些元素的并集存在5、集的所有子集（冪集）

15、存在,ZF公理系統(tǒng),6、集在單值映射下的像仍是集7、正則公理：集不是自己的元8、無限公理：無限集存在9、選擇公理：不含空集的非空 集族,七種等價結論,連續(xù)統(tǒng)假設成為微積分的基礎， 常用的是七個等價原理1、非空有界集的確界存在原理2、單調有界序列的收斂原理3、 Cantor 區(qū)間套原理4、 Heine-Borel有限覆蓋定理 （有界閉區(qū)間的緊致性）,七種等價結論,5、 Bolzano-

16、Weiestrass 定理 （有界閉區(qū)間的序列緊性）6、 Weiestrass 聚點定理 （ 有界無限數集的列緊性）7、 Cauchy 序列的收斂性定理 （實數集的完備性）,我們只解釋一下比較直觀的 區(qū)間套原理：設遞減閉區(qū)間序列,的長度,趨向于 0,當,則存在唯一一點屬于所有區(qū)間。,用數學記號,區(qū)間套,存在唯一的一個公共點,,,,,,,,,,,,當區(qū)間長度趨向于零時，應當,,思考：

17、為何以連續(xù)統(tǒng)假設為基礎？,牛頓微積分,要解決的核心問題,英國 德國 （Newton, 1643～1727） （ Leibniz, 1646～1716 ） 微積分 科學家聯手，成為 微積分的 奠基人,牛頓,萊布尼

18、茲,,在牛頓微積分中 導數意義 —— 曲線切線的斜率（數學） —— 運動物體的速度（物理） 積分意義 —— 圖形的長度面積 （數學） —— 物體的質量力矩 （物理）,導數 —— 曲線切線的斜率（數學） —— 運動物體的速度（物理）都抽象地表示為一個 “極限”,這里,是曲線割線的斜率，,或運動質點的平均速度。,曲線切線的斜率（數學）,這里,是曲線割線的斜率,是切線

19、的斜率,,,,,,,,,,曲線也可視為運動質點的運動軌跡,積分 —— 圖形的面積（數學） —— 物體的質量（物理）也都抽象地表示為一個 “極限”,這里,是區(qū)間,的劃分，,圖形的面積（數學）,這里,是區(qū)間,的劃分，,,,,,,,,,,,是紅色矩形面積,,是圖形面積的近似值,,牛頓微積分,粗略地說,,探索宇宙間 數與形（數學）、 運動體（物理） 變化率與度量的規(guī)律

20、 的學科,,牛頓微積分,核心問題是,,如何處理 “近似值”（平均量） 與 “精確值” （極限）,因此極限是 至關重要的概念！,,牛頓微積分,本質性質是什么？,,也就是 要建立稱為 “微分”、 “積分”,的概念，當滿足什么 本質性質？,,就稱極限值,牛頓微積分,為,在,的導數，記為,幾何意義：曲線,在點,的切線的斜率。,定義變化率

21、的準則,作為變化率，視為求導運算， 應滿足以下準則：（1）求導運算存在逆運算— 積分運算（2）導數的Fourier變換滿足— Fourier 變換公式,牛頓微積分,（3） 導數滿足逼近論中的 正、逆逼近定理（4） 固有方

22、程的解 — 固有函數與固有值 是所對應的局部緊群的 特征群的特征函數 與特征值,數學表示,（1）求導運算的逆運算 —— 積分運算,（1）的意義,正如，加法的逆運算 是減法,數學表示,（2）導數的Fouri

23、er變換 滿足 Fourier變換公式,（2）的意義,函數的Fourier變換 理解為信號（函數）的 頻譜,Fourier變換的意義,在實際應用中， 信號（函數）分析 非常重要雷達測量到的是信號的 頻率（Fourier變換）,（3） 導數滿足逼近論中 正、逆逼近定理,（3）的意義,,亦即，函數愈光滑，最佳逼近,趨于零的速度愈快；

24、反之亦然。,,唯一的多項式，稱為最佳近。,則函數越光滑（存在導數的階 越高），最佳逼近趨于零的速 度愈快；反之亦然。,其意思是：用多項式近似代替,（逼近）一個函數時，存在,（4） 固有方程的解—— 固有函數與固有值 是所對應的局部緊群的 特征群的特征函數

25、 與特征值,（4） 的意義 物理背景強烈（振動的固有頻率、 士兵過橋的故事） 數學意義深刻 （群與特征群理論）,二、,分數維數 —— 分形微積分,Mandelbrot （美籍） 1967發(fā)表（Science, 155, p.636） 英國的海岸線

26、 有多長 ？,為何在如此頂級的、 世界級科學期刊 “科學” 上， 發(fā)表幾乎是中學地理課 都會講到的一個 眾所周知的內容呢？,更有甚者、 它的答案竟然是 無窮大 ！,,英國海岸線模擬,二十世紀中葉以后，諸多領域 的科學家們注意到大自然中出現的

27、 現象 —— 蝴蝶效應、孤立子、湍流、 月坑、河流、凝聚現象、 探礦、地震、海嘯、 臨床醫(yī)學、生命科學、 市場行情、股票期貨、,在其他科學領域中，如 物理學、天文學、 生命科學、 地球科學、 環(huán)境科學、… 諸多領域中都也出現了,大自然中、 科學研究中出現了大量的

28、 牛頓微積分 解決不了的問題！,數學家早就發(fā)現 連續(xù)但處處無導數,,Weierstrass函數、,牛頓微積分無能為力！,Weierstrass 函數,Weierstrass函數,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,其圖形為,蝴蝶效應： 撒哈拉大沙漠中的一只蝴蝶扇扇翅膀，就會在美國紐約掀起一場 狂風暴雨

29、 這是怎么一回事呢 ？,Lorentz 體系：,數學家研究了它的解：在三維空間中，解曲線上的點從原點出發(fā)，呈蝴蝶狀向外擴張，然后又回到原點，解曲線上兩點間的距離則按指數函數增大?！安环€(wěn)定” ！,Lorentz 體系的解 不滿足穩(wěn)定性 —— 混沌,,,產生奇怪吸引子,,,,,蝴蝶效應,這里說到 （1） 微分方程組：是指含幾個未知 函數的導數的方程組；

30、 （2） 微分方程解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性 —— 統(tǒng)稱“適定性” 。 不是每個偏微分方程都能解出來的， 數學家能證明，在一定條件下，它的解 存在（一定有）、唯一（只有一個）、 穩(wěn)定（不大起大落） ！,蝴蝶效應 就是當 Lorentz 系的 穩(wěn)定性被破壞時產生的 自然現象。,,孤立子（波）,另一個現象,倫敦泰晤士河邊 騎馬散步的羅素發(fā)現了

31、 孤立子,,,,,,,,,,,,,,,泰晤士河,,在實驗室里產生孤立波，這種現象的數學研究方法是研究一種可積系統(tǒng)，涉 及很深的數學理論。,如今已經可以,Mandelbrot,B.B. (1924-) 美籍波蘭人，耶魯大學教授 20世紀70年代中期提出 fractal (分形)( 來自拉丁語fractus，意為碎片),Mandelbro

32、t,研究對象： 自然界中不規(guī)則、支離破碎、 經典數學難以研究的問題 例如：Cantor集、魔鬼階梯、Weierstrass函數、Brown運動…,Fractal分析,Cantor三分集,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,問題：Cantor三分集中還有點嗎 ？,魔鬼階梯,,能登著魔鬼階梯的每一級從底到頂嗎 ？,Cantor三分集,答案：Cantor三分集中

33、 有無窮多個點， 多到 能與區(qū)間 [ 0,1 ] 中的點 一一對應；亦即，它的勢是,,,答案（1）,答案：,,不可能 登著魔鬼階梯 每一個臺階上去！,答案（2）,（為什么？留給聽眾思考?。?,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Coch曲線（雪花曲線）,隨機雪花曲線是 英國海岸線 的模擬,,,,Fractal分析,,,,,

34、,,,,,,,,,,氣體分子Brown運動,水墨畫,Fractal分析,Mandelbrot 心 臟,Fractal分析,Mandelbrot 心 臟,Fractal分析,動態(tài)的Mandelbrot心臟,樹葉,風箏,抽象派項鏈,Fractal分析,龍的曲線,Fractal分析,Julia集（兔子集）,Fractal分析,Julia集（兔子集）,Fractal分析,余弦樹,Fractal分析,分形有大量的應

35、用， 如物理、化學、天文、 地質、經濟、生命科學、 臨床醫(yī)學、… 等待著您！,Fractal分析,什么是分形呢？,‘分形圖形’或‘分形集’指的是 具有以下特征性質的幾何形體:（1）在任意小的尺度下 都有細結構 （無論如何細分，都含有 自身的特征性質）；,Fractal分析,（2）處處不可微

36、 （沒有經典意義下的導數、 或逐段導數＝0, 接點無導數）（3）通常的度量對它們失去意義 （如長度、面積、體積等, 或 = 0 ,或 = 無窮大）；,Fractal分析,（4） 有其自身生成規(guī)律性 （自相似、自仿、遞歸、 隨機自相似、隨機行走等）例如, Cantor三分集, Cantor 三分函數

37、 （魔鬼階梯）, Julia集, Brown 運動, Weierstrass 函數, Koch 曲線, Mandelbrot 心臟, 龍的曲線, 等等.,Fractal分析,Fractal,,向傳統(tǒng)挑戰(zhàn),Fractal分析,,經典微積分： 導數（微分） —— 切線斜率 —— 運動物體的速度

38、 積分 —— 物體的度量 長度、面積、體積,牛頓微積分,,但是，經典微積分： 求導數、求積分 必須有條件例如：有切線 無切線,牛頓微積分,,,,,,求積分（長度、面積、體積） 度量單位給定，Cantor 三分集長度為零； 雪花曲線長度為無窮大！

39、對于不滿足條件的曲線、曲面， 出現失去意義的情況。,牛頓微積分,英國的海岸線為無窮大， 是因為： 尺度不對正如：用稱煤的大秤去秤金項鏈 得到金項鏈的重量為 0 用天平去秤鐵塊 得到鐵塊的重量為無窮,Fractal分析,我們從維數開始認識 “分形”點是 0 維，直線是 1 維， 平面是 2 維，空間是 3 維。有

40、 4 維、5維、…嗎 ？,,有 ½ 維嗎？ 有分數維、無理數維嗎 ？,Fractal分析,分形分析的思維,（1）各種分形維數 超越了經典幾何的概念 例如，Cantor集,Fractal分析,這個維數稱為 Hausdorff 維數 Cantor集在 Hausdorff 維數 之下，其 Hausdorff 測度 （不再像Lebesgue測度那樣為零了）,

41、Fractal分析,Hausdorff 維數的引入：取定 a 為直線上的尺度， 平面上以 a 為邊的正方形面積為 空間中以 a 為邊的立體體積為,當,作為尺度不合適時，,取,，,就是一種新“維數”,，,Fractal分析,這種思維，顯然 超 越 了 經典幾何的測量思維方法，達到 創(chuàng) 新 水 平,F

42、ractal分析,記Hausdorff維數為 s, 則 Koch曲線 s = ln4/ln3英國海岸線 s = 1.2618亞馬孫河流域 s = 1.85螞蟻行走路徑 s = 1.2月球“酒海” 月坑 s = 2.3人類的肺 s = 2.17人類的血

43、管 s = 3,Fractal分析,（2） 分形集、分形函數 的 “變化率” 問題 超越了牛頓微積分例如，Weierstrass函數， 處處連續(xù)、處處不可導,Fractal分析,眾所周知， Weierstrass函數,Fractal分析,Weierstrass 證明： 處處不可導，點點無導數,Fractal分析,當

44、一個質點沿著 Weierstrass曲線運動時，其“變化率”是什么? 又如何表示?,Fractal分析,必須建立分形微積分,“分形微積分” 是分形分析的 重要、核心 課題,Fractal分析,如何建立？,確定一個準則，亦即：定義 分形函數變化率 ( “rate of change” of a Fra

45、ctal ) 的 principle ?,Fractal分析,定義變化率的準則,已如前所說， 應滿足以下準則：（1）求導運算存在逆運算— 積分運算（2）導數的Fourier變換滿足— Fourier 變換公式,Fractal分析,（3） 導數滿

46、足逼近論中的 正、逆逼近定理（4） 固有方程的解 — 固有函數與固有值 是所對應的局部緊群的 特征群的特征函數 與特征值,Fractal分析,局部域上的分形空間,在局部域上定義分形

47、空間 將分形函數進行分類 研究其分析性質 建立分形微積分,Fractal分析,“局部域”的嚴格定義 需要用到很多基礎知識。 最特殊的情形，就是 實數直線的二進制表示， 它是特殊的局部域。,我們的思路,要解決的 主要問題,（1） 什么是 分形函數的“導數”（2）

48、 如何建立 分形空間 （3） 怎樣反映 分形的動力學行為,上世紀60～70年代分形微積分,Gibbs(英國數學家) 定義了 邏輯導數,Fractal分析,其意義是,整體變化率,Fractal分析,,,,,,,我們通過 擬微分算子,Fractal分析,定義一種新“導數”，稱

49、為 p -型導數,可以證明，這樣定義的 新型導數,Fractal分析,滿足所述的 四個準則。,新型導數的物理意義,Fractal分析,運動的整體變化率； 本征方程為 ；,本征函數為 。,新型導數的數學意義,Fractal分析,作為運算，有逆 ；,“可導性”越高，函數越

50、 “光滑”；反之亦然；,亦即，滿足正逆逼近定理,新型導數深層次的意義,Fractal分析,可推廣到 分布的導數；,固有函數是特征群的元,“可導函數” 居住在Holder型空間 ；,。,P －型導數與分形,,的應用,非線性科學,在數學科學 中的應用,非線性科學,調和分析、 空間理論、 函數逼近論、 偏微分方程、

51、 ……,在分形分析 中的應用,非線性科學,分形維數與p－型導數的關系、 分形空間的研究、 分形偏微分方程、 ……,p－型導數與 分形分析,非線性科學,在臨床醫(yī)學、生命科學 中的應用,腫瘤邊界形狀、 人類基因功

52、能、 肝臟移植中 供體與受體,非線性科學,活體肝臟移植的血流動力學的 分形數學模型 建立與應用,非線性科學,輔助性原位部分肝移植,,原肝的一部分,,移植上去的部分,非線性科學,宇宙間 處處有分形分形是 非線性現象共性中的 核心的部分,非線性科學,非線性科學

53、 核心部分 混沌、 分形、 孤立子,非線性科學,云層、山巒、地殼、 地層、礦藏、海岸線、 河流、樹葉、 ……,自然界的,人 體中的 神經系統(tǒng)、血管網絡 經絡（中醫(yī)學）、 臟器移植、……,非線性科學,物理、材料、化學、能源、 天文學、地質