第二章-03-電磁學

1、,§2.6 電介質中靜電場的基本定理,高斯定理環(huán)路定理電位移線舉例應用,,電介質在外場中會被極化，出現極化電荷不但自由電荷要激發(fā)電場 E0，電介質中的束縛電荷同樣也要在它周圍空間激發(fā)電場 E′ (無論電介質內部或外部)由電場強度疊加原理，在有電介質時，某點的總電場強度,,,一、高斯定理,,,對各向同性介質：,,ε 為絕對介電常數,εr為相對介電常數。,于是有：,電介質中的高斯定理,單位是C/m2 (庫每

2、平方米),,,如果令ρe0為自由電荷密度，ρe′ 為極化電荷密度，ρe為總電荷密度：,可得電介質中高斯定理微分表達式：,,二、環(huán)路定理,■電介質的存在，只是增加了一些新的場源(電荷)■電介質的存在，并沒有改變電場的基本性質■靜電平衡時，自由電荷和極化電荷產生的電場都是靜電場■總電場的保守場性質未變，所以仍滿足環(huán)路定理：,介質中靜電場仍然是一個無旋的保守場。,,,D矢量，是表述有電介質時電場性質的一個輔助量，在有電介質時的電場

3、中，各點的場強都對應著一個電位移矢量。仿照電場線的畫法，可以作一系列電位移線，線上每點的切線方向就是該點電位移矢量的方向，并令垂直于線單位面積上通過的線條數，在數值上等于該點電位移D的大小。D線和E線：,三、電位移線,,,,E 線,D 線,電位移線(D線)只與自由電荷有關,電力線(E線)不但與自由電荷有關 ，而且與束縛電荷有關,線性均勻各向同性介質情況,,[例2-6-1]證明各向同性均勻介質內?0=0處必有?? = 0。[解

4、],四、舉例,,[例2-6-2]求相對介電常數為 εr 的無限大均勻電介質中點電荷 q的場分布。[解]:q的場是球對稱場，以電荷為球心，作球形高斯面,介質內場強削弱了1/εr 倍；電容增加了 εr倍， εr又稱為電容率。,,,,,電荷分布、介質分布都具有一維對稱性！,,[例]導體球R1,Q0和均勻介質球殼R2,εr。求E, σe’ ,U。[解]一維對稱問題。分三個區(qū)分別討論。1) 利用高斯定理：,思考 為什么曲線不連續(xù)？,,2

5、) 下面求極化電荷q? 的分布 ：,,,3) 導體球的電勢：,,各向同性線性介質中 D 正比于 E普遍情況下, 兩者關系不簡單，不一定成正比關系,小結： 真空 有介質,靜電荷(自由、極化),自由電荷,,,§2.7 邊值關系和唯一性定理,一、邊值關系　　電場強度　電位移矢量　電勢二、唯一性定理三、應用舉例,,一、邊值關系,電場內存在多種介質?介質間的交界面?極化

6、電荷介質未充滿電場空間?導體和介質的交界面?極化和自由電荷 交界面的存在會影響整個空間的電場分布 ?研究電場在交界處的行為十分重要將電場的基本方程用到交界面上，研究界面兩邊電場改變的一般規(guī)律，即“邊值關系”。,,（１）電場強度,在介質交界面取一較小的矩形環(huán)路用環(huán)路定理:,,,E2,n,E1,t,,界面兩邊電場強度的切向分量總是相等。,,,0,,ε1,,

7、（２）電位移矢量,利用高斯定理，跨界面作柱形高斯面：,■在電介質界面上，一般σ0=0，即無自由電荷，所以：,σe為總面電荷密度,n,,,,（+）,,,,,,,電場線在界面上的折射,電場線在穿過介質界面時會產生類似光線折射的現象,,（３）電勢,在介質分界面兩側取距界面為h的1，2兩點其連線平行法線，兩點的電勢分別為U1和U2當h?0時，兩點的電勢差為0 ，即：,介質界面兩側電勢總是連續(xù)的。,,,1、E 的切向分量連續(xù),2、對無自由電荷

8、的界面， D 的法向分量連續(xù),小結,3、介質界面兩側的 電勢總是連續(xù)的,界面一點上的法線方向只有一個，而該點的切線方向卻有無數多個，結論對任一切線方向成立,4、極化強度矢量和 極化面電荷,,,,,,求解靜電場問題給定空間電荷的分布,如何知道空間各處的電場?原則:庫侖定律+疊加原理?空間各點電場強度E實際情況:要知道每個導體表面的面電荷分布很困難即使知道σe,但E是矢量,使得計算極為繁雜容易確定的

9、是每個導體的電勢或者總電量求解思路: 先求得U, 再利用E= -▽U得E,二、唯一性定理,,典型的靜電場問題： 即在滿足一定邊界條件下求解空間電場分布的問題。,基本方程：,將問題轉換為求解一個標量函數的二階偏微分方程但僅有此方程不能確定空間U分布,還需邊界條件.,對于靜電場，給定什么樣的條件，空間存在確定的電場解？ ——唯一性定理,,帶電導體系—唯一性定理,當給定電場的邊界條件，即給定包圍電場空間的邊界面S上的電勢US，給定S內各

10、導體的形狀、大小及各導體之間的相對位置，同時再給定下列兩條件之一：(1) S面內每個導體的電勢Ui(2) S面內每個導體上的總電量qi （其中i=1,2,……為導體的編號）則在以S為邊界面的空間內滿足高斯定理和環(huán)路定理的靜電場解是唯一的。,,電介質體系—唯一性定理,當給定空間邊界面S上的電勢US，給定S面內各均勻介質按區(qū)域分布的情況和各電介質的介電常數εi，給定S內各導體的形狀、大小及各導體之間的相對位置，同時再給定下列

11、兩條件之一：(1) S面內每個導體的電勢Ui(2) S面內每個導體上的總電量qi （其中i=1,2,……為導體的編號）則邊界面S所包圍的空間內靜電場解是唯一的。,,唯一性定理的含意,證明：利用反證法論證見書中P56理論證明在電動力學中給出,滿足一定的條件和邊界條件的、存在于空間的電場分布應該是唯一的,即給定這些條件后，不可能存在不同的靜電場分布。,,幾點說明,唯一性定理提出了定解的充分必要條件。 求解時

12、，我們總要判斷問題的邊界條件是否足夠當滿足必要的邊界條件時，則可斷定解是唯一的不同的方法得到的解在形式上可能不同，但等價唯一性定理對于解決實際問題有著重要的意義。因為它告訴我們，哪些因素可以完全確定靜電場對于許多實際問題，往往需要根據給定的條件作 一定的分析，提出嘗試解。如果所提出的嘗試解滿足唯一性定理所要求的條件，它就是該問題的唯一正確的解。,,三、應用舉例,研究分區(qū)均勻各向同性線性介質的電場求解問題：介質-

13、介質界面與電場線重合的情況介質-介質界面與等勢面重合的情況其他情況：電動力學方法處理,,,介質-介質界面與電場線重合,E與介質界面重合，則P在界面上沒有法向分量，見右下圖的問題。則兩種介質分界面上極化面電荷為0。σe′只可能存在于介質和導體的邊界面上。介質σe′與介質有關： εi ?P? σe′?E ′而導體靜電平衡要求導體內的E恒為0， 所以導體表面的自由電荷會自動調整， 從而維持總電荷面密度分布形式不變：

14、 ∴介質中 E＝ a E0,,Q0,- Q0,,,,,E,,■為確定α因子，我們要用到高斯定理：,式中S為包含某導體面的高斯面，Si是S的一部分，它位于第i種介質之中；Q0為該導體所帶的自由電荷量，在真空中所產生的電場為E0。,■對E0一維對稱性問題，則E也有一維對稱性，不必引入a，使得問題簡化。這時可利用高斯定理直接計算電場強度E。,,,[例2-7-1]球形電容器帶電量Q0，極板間充滿介電常數分別為ε1和ε 2的兩種介質，求介

15、質中的 D 和 E.[解]介質界面與電場線重合，一維對稱性問題，所以可以直接利用高斯定理：,,Q0,-Q0,,,,,E,,[例]平行板電容器帶電Q0，板間距d，長a，寬b= b1+ b2。介電常數為ε1和ε2。求C和極板上自由電荷σe.[解]介質界面與電場線重合，一維對稱性問題，所以可以 直接利用高斯定理：,,,,,,,,,,b1,b2,d,,自由電荷在極板上分布是不均勻的，但這種不均勻性正好由極化電荷所補償，總面電荷密度是均勻

16、分布的。電容器內電場仍是均勻分布的。,自由電荷,,介質-介質界面與等勢面重合,介質界面與等勢面重合 介質面與電場線垂直，見右兩圖問題介質中D=ε0E0：可證明D和ε0E0　同時滿足高斯定理和環(huán)路定理，見P59。E0為自由電荷的電場，其計算完全等同于真空中的靜電場。處理步驟：首先去掉介質，計算自由電荷產生的電場E0　利用 求出Ei,ε1,ε2,,,[例2-7-

17、3]平行板電容器，兩板間充滿厚度分別為d1、d2，介電常數為e1，e2的兩層介質；板間電壓為U。求1）兩板間的電場；2）介質分界面處的總面電荷密度；3）介質分界面處的自由面電荷密度？,,,,,,,,,[解] 介質界面與電場線垂直，,,[例]如右圖所示，一無限大平面（ｚ＝０）將介電常量分別為 和 　的介質隔開，在ｚ軸上 　　　的位置分別放置點電荷　　，求空間電場分布。,,,y,z,?1,?2,O,?+q,??q,d,?d,[解]當去

18、掉介質，平面恰好為兩點電荷的電場的等勢面。因此，本題屬于介質界面與等勢面重合的情況。先求：,,,（ｚ＞０），,（ｚ＜０）,,其他情況,介質界面與電場線和等勢面都不重合，一般用：電動力學方法處理對于某些具有特定幾何形狀的介質面的問題，可以利用電像法求解,,§2.8 電像法,定義：求解靜電場問題的特殊方法，由W.湯姆孫于1848年提出。用于計算一定形狀導體面附近的電荷所產生的靜電場。原因：在電荷的附近出現導體面(或介質

19、分界面)時，這些面對電場有影響(感應電荷或極化電荷)，但求解困難。方法：電像法就是利用已經熟悉的靜電學知識，通過在這些面的另一側適當位置，設置適當量的假想電荷(稱為像電荷)，等效地代替實際導體上的感應電荷或電介質界面上的極化電荷，以保證場的邊界條件得到滿足。物理：根據靜電唯一性定理，在求解區(qū)域中，源電荷與像電荷產生的電場滿足邊界條件，它就是實際存在的電場。,,一、范圍步驟,基本思路用假想的像電荷代替邊界上的感應電荷與束縛電荷

20、保持求解區(qū)域中場方程和邊界條件的不變使用范圍區(qū)域內只有一個或者幾個點電荷。點電荷個數有限區(qū)域的邊界是導體或者介質。界面幾何形狀較規(guī)范解題步驟確定像電荷的大小和位置，必須滿足原邊界條件。去掉界面，按原電荷和像電荷求所要求區(qū)域電場。再求邊界上的感應電荷與束縛電荷。最后求電場力。,,二、應用舉例,[例]距無限大接地導體板h處有一點電荷q。求：點電荷一側場的分布，板上的電荷分布以及電荷q所受的力。,分析：用位于導體平面下方h處的

21、鏡像電荷-q代替導體平面上的感應電荷，邊界條件可維持不變，即YOZ面為零電位面。解題：去掉導體面，用原電荷和像電荷求解導體上方區(qū)域場。,鏡像電荷-q,點電荷的平面鏡像,接地導體面上方有點電荷q,平面電像法,,空間電位：,電場強度：,感應電荷:,電場力:,,,[例]真空中有一半徑為R的接地導體球，距球心O為d (d > R ) 處有一點電荷q0,求空間各點電勢、電場和σe。,分析： 由對稱性分析，設導體球內距離球心O為x‘ 的C點

22、處，置一像電荷q‘來代替導體球上的感應電荷，維持導體球面電位為零。 解題：去掉導體球，用原電荷和像電荷求解導體球外區(qū)域場，注意不能用原電荷和像電荷求解導體球內區(qū)域場。求解像電荷的大小和位置求解電位、電場強度、感應電荷,,■求解鏡像電荷的大小和位置：將原導體球移去，q0及像電荷 q’在原球面上任一點B處產生的電位應為零，即:,利用邊界條件：,由上式導出：,該式成立的充分必要條件是分子、分母分別相等，亦即：,,其中第二個等式化為

23、：,解得 ，將其代入第一個等式，求得像電荷的位置和電量，結果為：,■于是，求得球殼外（ ）的電勢和電場表達式如下：,,■不難驗證 ，即導體殼表面電場切向分量為零。導體表面的面電荷密度為：,,,■導體殼上的總電量為：,,,,即qi = q'，導體殼上的總電量與像電荷的電量相等。,■作用到q0上的力，也就是像電荷q‘ 對它的庫侖力，即：,,,[

24、例]如右下圖所示，介電常量分別為 　和　 半無限介質的界面為一無限平面，在介質2中置入點電荷q，它與界面的垂直距離為h，求界面極化電荷的分布。,,,[解]我們嘗試用電像法來解，即用像電荷來代表界面上極化電荷對電場的貢獻。■而對 　區(qū)(z ? 0)，可用像電荷q”　代表。它們的位置示于圖,,,■ 設對 　區(qū)(z ＜ 0 )，這一貢獻可用像電荷q’ 代表；,,求得兩區(qū)域電勢的表達式為：,注意上述表達式中，源電荷的貢獻應被所在介質中

25、的介電常量除，這相當于計入了源電荷周圍的極化電荷的貢獻；而像電荷的貢獻則采用真空中的電勢計算公式。上述電場應滿足如下邊值關系：,,將　和　的表達式代入上面兩式分別求得：,,,,可解出,,束縛面電荷密度：,,當取　　　,　　　時，我們得到如下結果：,,上述結果和　　　例一致。因此，在靜電學范圍內，導體可當作介電常量趨于無窮的電介質的極限。,,,2-8-1,,,電像法小結,理論根據： 唯一性定理基本思想在域外放置適當的像電荷，等效導體邊