數(shù)學史 (9)

1、數(shù)與形的完美結合——解析幾何的產(chǎn)生,高二三班王瑾 祁輝 王琦 楊瀚宇,笛卡爾,笛卡兒（Rene Descartes）,1596年3月31日生于法國都蘭城。笛卡兒是偉大的哲學家、物理學家、數(shù)學家、生理學家。解析幾何的創(chuàng)始人。,笛卡爾生平,笛卡兒生于法國的一個貴族之家，笛卡兒的父親是布列塔尼地方議會的議員，同時也是地方法院的法官,笛卡兒在豪華的生活中無憂無慮地度過了童年。他幼年體弱多病，母親病故后就一直由一位保姆照看。他對周圍的事物充滿了

2、好奇，父親見他頗有哲學家的氣質(zhì)，親昵地稱他為“小哲學家”。,父親希望笛卡兒將來能夠成為一名神學家，于是在笛卡兒八歲時，便將他送入拉弗萊什的耶穌會學校，接受古典教育。校方為照顧他的孱弱的身體，特許他可以不必受校規(guī)的約束，早晨不必到學校上課，可以在床上讀書 。因此，他從小養(yǎng)成了喜歡安靜，善于思考的習慣。,在1634年寫了《論世界》，書中總結了他在哲學、數(shù)學和許多自然科學問題上的看法。1641年出版了《行而上學的沉思》，1644年又出版了《哲

3、學原理》等。他的著作在生前就遭到教會指責，死后又被梵蒂岡教皇列為禁書，但這并沒有阻止他的思想的傳播。 笛卡兒不僅在哲學領域里開辟了一條新的道路，同時笛卡兒又是一勇于探索的科學家，在物理學、生理學等領域都有值得稱道的創(chuàng)見，特別是在數(shù)學上他創(chuàng)立了解析幾何，從而打開了近代數(shù)學的大門，在科學史上具有劃時代的意義。,笛卡兒的主要數(shù)學成果集中在他的“幾何學”中。當時，代數(shù)還是一門比較新的科學，幾何學的思維還在數(shù)學家的頭腦中占有統(tǒng)治地位。在笛卡兒之

4、前，幾何與代數(shù)是數(shù)學中兩個不同的研究領域。笛卡兒站在方法論的自然哲學的高度，認為希臘人的幾何學過于依賴于圖形，束縛了人的想象力。對于當時流行的代數(shù)學，他覺得它完全從屬于法則和公式，不能成為一門改進智力的科學。因此他提出必須把幾何與代數(shù)的優(yōu)點結合起來，建立一種“真正的數(shù)學”。笛卡兒的思想核心是：把幾何學的問題歸結成代數(shù)形式的問題，用代數(shù)學的方法進行計算、證明，從而達到最終解決幾何問題的目的。依照這種思想他創(chuàng)立了我們現(xiàn)在稱之為的“解析幾何學

5、”。,1637年，笛卡兒發(fā)表了《幾何學》，創(chuàng)立了直角坐標系。他用平面上的一點到兩條固定直線的距離來確定點的距離，用坐標來描述空間上的點。他進而又創(chuàng)立了解析幾何學，表明了幾何問題不僅可以歸結成為代數(shù)形式，而且可以通過代數(shù)變換來實現(xiàn)發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，證明幾何性質(zhì)。解析幾何的出現(xiàn)，改變了自古希臘以來代數(shù)和幾何分離的趨向，把相互對立著的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一了起來，使幾何曲線與代數(shù)方程相結合。笛卡兒的這一天才創(chuàng)見，更為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎，從而開拓了

6、變量數(shù)學的廣闊領域。,最為可貴的是，笛卡兒用運動的觀點，把曲線看成點的運動的軌跡，不僅建立了點與實數(shù)的對應關系，而且把形（包括點、線、面）和“數(shù)”兩個對立的對象統(tǒng)一起來，建立了曲線和方程的對應關系。這種對應關系的建立，不僅標志著函數(shù)概念的萌芽，而且標明變數(shù)進入了數(shù)學，使數(shù)學在思想方法上發(fā)生了偉大的轉折--由常量數(shù)學進入變量數(shù)學的時期。正如恩格斯所說：“數(shù)學中的轉折點是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辨證法進入了數(shù)學，有

7、了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要了。笛卡兒的這些成就，為后來牛頓、萊布尼茲發(fā)現(xiàn)微積分，為一大批數(shù)學家的新發(fā)現(xiàn)開辟了道路。,笛卡兒在其他科學領域的成就同樣累累碩果。笛卡兒靠著天才的直覺和嚴密的數(shù)學推理，在物理學方面做出了有益的貢獻。從1619年讀了開普勒的光學著作后，笛卡兒就一直關注著透鏡理論；并從理論和實踐兩方面參與了對光的本質(zhì)、反射與折射率以及磨制透鏡的研究。他把光的理論視為整個知識體系中最重要的部分。笛卡兒堅信光是“即時”傳播的，

8、他在著作《論人》和《哲學原理》中，完整的闡發(fā)了關于光的本性的概念。,他還從理論上推導了折射定律，與荷蘭的斯涅耳共同分享發(fā)現(xiàn)光的折射定律的榮譽。他還對人眼進行光學分析，解釋了視力失常的原因是晶狀體變形，設計了矯正視力的透鏡。在力學方面，他提出了宇宙間運動量總和是常數(shù)的觀點，創(chuàng)造了運動量守恒定律，為能量守恒定律奠定了基礎。他還指出，一個物體若不受外力作用，將沿直線勻速運動。,笛卡兒在其他的科學領域還有不少值得稱道的創(chuàng)見。他發(fā)展了宇宙演化論，

9、創(chuàng)立了漩渦說。他認為太陽的周圍有巨大的漩渦，帶動著行星不斷運轉。物質(zhì)的質(zhì)點處于統(tǒng)一的漩渦之中，在運動中分化出土、空氣和火三種元素，土形成行星，火則形成太陽和恒星。笛卡兒的這一太陽起源的旋渦說，比康德的星云說早一個世紀，是17世紀中最有權威的宇宙論。他還提出了刺激反應說，為生理學做出了一定的貢獻。 笛卡兒近代科學的始祖。笛卡兒是歐洲近代哲學的奠基人之一，黑格爾稱他為“現(xiàn)代哲學之父”。他自成體系，熔唯物主義與唯心主義于一爐，在哲學史上產(chǎn)生

10、了深遠的影響。同時，他又是一位勇于探索的科學家，他所建立的解析幾何在數(shù)學史上具有劃時代的意義。笛卡兒堪稱17世紀的歐洲哲學界和科學界最有影響的巨匠之一，被譽為“近代科學的始祖”。,1649年冬，笛卡兒應瑞典女王克里斯蒂安的邀請，來到了斯德哥爾摩，任宮廷哲學家，為瑞典女王授課。由于他身體孱弱，不能適應那里的氣候，1650年初便患肺炎抱病不起，同年二月病逝。終年54歲。1799年法國大革命后，笛卡兒的骨灰被送到了法國歷史博物館。,一個為情感

11、所支配，行為便沒有自主之權，而受命運的宰割。 當感情只是勸我們?nèi)プ隹梢跃徯械氖碌臅r候，應當克制自己不要立刻作出任何判斷，用另一些思想使自己定一定神，直到時間和休息使血液中的情緒完全安定下來。讀一切好的書,就是和許多高尚的人說話。 愈學習，愈發(fā)現(xiàn)自己的無知。所有的好書，讀起來就像同過去世界上最杰出的人們談話。 讀一切好的書，就是和許多高尚的人說話。 恐懼的主要原因是驚奇，擺脫它的最好辦法是臨事先思考，并

12、使自己對所有不測事件（驚奇是由對它們的害怕引起的）有所準備。 笛卡爾,解析幾何的誕生,文藝復興使歐洲學者繼承了古希臘的幾何學，也接受了東方傳入的代數(shù)學。利學技術的發(fā)展，使得用數(shù)學方法描述運動成為人們關心的中心問題。笛卡兒分析了幾何學與代數(shù)學的優(yōu)缺點，表示要去“尋求另外一種包含這兩門科學的好處，而沒有它們的缺點的方法”。 在《幾何學》卷一中，他用平面上的一點到兩條固定直線的距離來確定點的距離，用坐標來描述空間上的點。他進而創(chuàng)立了解

13、析幾何學，表明了幾何問題不僅可以歸結成為代數(shù)形式，而且可以通過代數(shù)變換來實現(xiàn)發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，證明幾何性質(zhì)。,笛卡兒把幾何問題化成代數(shù)問題，提出了幾何問題的統(tǒng)一作圖法。為此，他引入了單位線段，以及線段的加、減、乘、除、開方等概念，從而把線段與數(shù)量聯(lián)系起來，通過線段之間的關系，“找出兩種方式表達同一個量，這將構成一個方程”，然后根據(jù)方程的解所表示的線段間的關系作圖。 在卷二中，笛卡兒用這種新方法解決帕普斯問題時，在平面上以一條直線為基線，

14、為它規(guī)定一個起點，又選定與之相交的另一條直線，它們分別相當于x軸、原點、y軸，構成一個斜坐標系。那么該平面上任一點的位置都可以用(x,y)惟一地確定。帕普斯問題就化成了一個含兩個未知數(shù)的二次不定方程。笛卡兒指出，方程的次數(shù)與坐標系的選擇無關，因此可以根據(jù)方程的次數(shù)將曲線分類。 《幾何學》一書提出了解析幾何學的主要思想和方法，標志著解析幾何學的誕生。此后，人類進入變量數(shù)學階段。,幾何學,中國：學過數(shù)學的人，都知道它有一門分科叫作“幾何

15、學”，然而卻不一定知道“幾何”這個名稱是怎么來的。在我國古代，這門數(shù)學分科并不叫“幾何”，而是叫作“形學”?！皫缀巍倍?，在中文里原先也不是一個數(shù)學專有名詞，而是個虛詞，意思是“多少”。比如三國時曹操那首著名的《龜雖壽》詩，有這么兩句：“對酒當歌，人生幾何？”這里的“幾何”就是多少的意思。那么，是誰首先把“幾何”一詞作為數(shù)學的專業(yè)名詞來使用的，用它來稱呼這門數(shù)學分科的呢？這是明末杰出的科學家徐光啟。,幾何學有悠久的歷史。最古老的歐氏幾何

16、基于一組公設和定義，人們在公設的基礎上運用基本的邏輯推理構做出一系列的命題?？梢哉f，《幾何原本》是公理化系統(tǒng)的第一個范例，對西方數(shù)學思想的發(fā)展影響深遠。一千年后，笛卡兒在《方法論》的附錄《幾何》中，將坐標引入幾何，帶來革命性進步。從此幾何問題能以代數(shù)的形式來表達。實際上，幾何問題的代數(shù)化在中國數(shù)學史上是顯著的方法。笛卡兒的創(chuàng)造，是否有東方數(shù)學的影響在里面，由于東西方數(shù)學交流史研究的欠缺，尚不得而知。歐幾里得幾何學的第五公設，由于

17、并不自明，引起了歷代數(shù)學家的關注。最終，由羅巴切夫斯基和黎曼建立起兩種非歐幾何。,古代幾何學,幾何最早的有記錄的開端可以追溯到古埃及（參看古埃及數(shù)學），古印度（參看古印度數(shù)學），和古巴比倫（參看古巴比倫數(shù)學），其年代大約始于公元前3000年。早期的幾何學是關于長度，角度，面積和體積的經(jīng)驗原理，被用于滿足在測繪，建筑，天文，和各種工藝制作中的實際需要。在它們中間，有令人驚訝的復雜的原理，以至于現(xiàn)代的數(shù)學家很難不用微積分來推導它們。例如，埃

18、及和巴比倫人都在畢達哥拉斯之前1500年就知道了畢達哥拉斯定理（勾股定理）；埃及人有方形棱錐的錐臺（截頭金字塔形）的體積的正確公式；而巴比倫有一個三角函數(shù)表。中國文明和其對應時期的文明發(fā)達程度相當，因此它可能也有同樣發(fā)達的數(shù)學，但是沒有那個時代的遺跡可以使我們確認這一點。也許這是部分由于中國早期對于原始的紙的使用，而不是用陶土或者石刻來記錄他們的成就。,平面幾何 立體幾何 非歐幾何 羅氏幾何 黎曼

19、幾何 拓撲學 解析幾何 射影幾何 仿射幾何 代數(shù)幾何 微分幾何 計算幾何,費馬,費馬(Pierre de Fermat，1601～1665）法國著名數(shù)學家，被譽為“業(yè)余數(shù)學家之王”,費馬的生平,費馬（也譯為“費爾馬”）1601年8月17日出生于法國南部。他的父親在當?shù)亻_了一家大皮革商店，擁有相當豐厚的產(chǎn)業(yè)，使得費馬從小生活在富裕舒適的環(huán)境中?！　≠M馬的父親

20、由于富有和經(jīng)營有道，頗受人們尊敬，并因此獲得了地方事務顧問的頭銜，但費馬小的時候并沒有因為家境的富裕而產(chǎn)生多少優(yōu)越感。費馬的母親出身穿袍貴族。父母構筑了費馬極富貴的身價。　　費馬小時候受教于他的叔叔，受到了良好的啟蒙教育，培養(yǎng)了他廣泛的興趣和愛好，對他的性格也產(chǎn)生了重要的影響。直到14歲時，費馬才進入博蒙·德·洛馬涅公學，畢業(yè)后先后在奧爾良大學和圖盧茲大學學習法律。,費馬生性內(nèi)向，謙抑好靜，不善推銷自己，不善展示自

21、我。因此他生前極少發(fā)表自己的論著，連一部完整的著作也沒有出版。他發(fā)表的一些文章，也總是隱姓埋名?！稊?shù)學論集》還是費馬去世后由其長子將其筆記、批注及書信整理成書而出版的。我們現(xiàn)在早就認識到時間性對于科學的重要，即使在l7世紀，這個問題也是突出的。費馬的數(shù)學研究成果不及時發(fā)表，得不到傳播和發(fā)展，并不完全是個人的名譽損失，而是影響了那個時代數(shù)學前進的步伐。,對費馬來說，真正的事業(yè)是學術，尤其是數(shù)學。費馬通曉法語、意大利語、西班牙語、拉丁語和希

22、臘語，而且還頗有研究。語言方面的博學給費馬的數(shù)學研究提供了語言工具和便利，使他有能力學習和了解阿拉伯和意大利的代數(shù)以及古希臘的數(shù)學。正是這些，可能為費馬在數(shù)學上的造詣莫定了良好基礎。在數(shù)學上，費馬不僅可以在數(shù)學王國里自由馳騁，而且還可以站在數(shù)學天地之外鳥瞰數(shù)學。這也不能絕對歸于他的數(shù)學天賦，與他的博學多才多少也是有關系的。,對解析幾何的貢獻,費馬獨立于勒奈·笛卡兒發(fā)現(xiàn)了解析幾何的基本原理。,《平面與立體軌跡引論》中道出了費馬的

23、發(fā)現(xiàn)。他指出：“兩個未知量決定的—個方程式，對應著一條軌跡，可以描繪出一條直線或曲線?！辟M馬的發(fā)現(xiàn)比勒奈·笛卡兒發(fā)現(xiàn)解析幾何的基本原理還早七年。費馬在書中還對一般直線和圓的方程、以及關于雙曲線、橢圓、拋物線進行了討論。,◆對微積分的貢獻　　　　16、17世紀，微積分是繼解析幾何之后的最璀璨的明珠。人所共知，牛頓和萊布尼茨是微積分的締造者，并且在其之前，至少有數(shù)十位科學家為微積分的發(fā)明做了奠基性的工作。但在諸多先驅(qū)者當中，費

24、馬仍然值得一提，主要原因是他為微積分概念的引出提供了與現(xiàn)代形式最接近的啟示，以致于在微積分領域，在牛頓和萊布尼茨之后再加上費馬作為創(chuàng)立者，也會得到數(shù)學界的認可。,曲線的切線問題和函數(shù)的極大、極小值問題是微積分的起源之一。這項工作較為古老，最早可追溯到古希臘時期。阿基米德為求出一條曲線所包任意圖形的面積，曾借助于窮竭法。由于窮竭法繁瑣笨拙，后來漸漸被人遺忘、直到16世紀才又被重視。由于約翰尼斯開普勒在探索行星運動規(guī)律時，遇到了如何確定橢圓

25、形面積和橢圓弧長的問題，無窮大和無窮小的概念被引入并代替了繁瑣的窮竭法。盡管這種方法并不完善，但卻為自卡瓦列里到費馬以來的數(shù)學家開辟廠一個十分廣闊的思考空間?！　≠M馬建立了求切線、求極大值和極小值以及定積分方法，對微積分做出了重大貢獻。,費馬一生身體健康，只是在1652年的瘟疫中險些喪命。1665年元旦一過，費馬開始感到身體有變，因此于1月l0日停職。第三天，費馬去世。費馬被安葬在卡斯特雷斯公墓，后來改葬在圖盧茲的家族墓地中。,1、射