下冊-分析力學基礎 1

1、第一章 分析力學基礎,,,,分析力學基礎,分析力學 —從十八世紀開始，出現(xiàn)與矢量力學并駕齊驅的另一力學體系 —特點是對能量與功的分析代替對力與力矩的分析 —由拉格朗日于1788年奠定的，以拉格朗日方程為基礎的分析力學，稱為拉格朗日力學 —1834年哈密頓將拉格朗日第二類方程變成一種正則形式，將動力學基本原理歸納為變分形式的哈密頓原理，從而建立了哈密爾頓力學,,分析力學基礎,分析力學

2、方法1：拉格朗日第一類方程 —在理想約束力與約束方程間建立起一種直接的關系，避免未知理想約束力的出現(xiàn)。 —矢量力學一般方法程式化更為明顯的動力學方程分析力學方法2：拉格朗日第二類方程 —從獨立坐標出發(fā)，利用純數(shù)學分析方法，將用獨立坐標描述的動力學方程利用統(tǒng)一的原理與公式進行表達 —克服了在矢量力學中建立這種方程依賴技巧的缺點,,分析力學基礎,分析力學的兩個基本原理達朗貝爾原理—利用達朗貝爾原理處理動力學的瞬

3、時問題虛位移原理—利用虛位移原理處理靜力學的問題在此基礎上導出拉格朗日第一類方程與拉格朗日第二類方程,,分析力學基礎,實際中遇到的問題：1、汽車減震問題,1893年生產(chǎn)的轎車,1904年生產(chǎn)的轎車,,分析力學基礎,1、汽車減震問題,,分析力學基礎,實際中遇到的問題：一、汽車減震問題,結構設計的CAD,,分析力學基礎,,分析力學基礎,,分析力學基礎,三、航天器飛行的姿態(tài)動力學問題,,分析力學基礎,,分析力學基礎,結構特點-

4、研究對象由多個物體組成（剛體、柔性體） -結構復雜 運動特點-剛體的運動不僅僅是定軸轉動和平面運動 實驗手段的特點-不僅有物理實驗還有計算機仿真實驗 研究方法的特點 -多學科交叉（數(shù)學、物理、力學、計算機）,,§ 1-1 自由度和廣義坐標,廣義坐標：描述質點系在空間中位置的獨立參數(shù),自由度：廣義坐標的數(shù)目即在雙側、完整約束的條件下，確定質點系位置的獨立參數(shù)的數(shù)目,,N自由度數(shù),S完整約束數(shù),,&#

5、167; 1-1 自由度和廣義坐標,確定系統(tǒng)的自由度數(shù),兩個約束方程：,,§ 1-1 自由度和廣義坐標,確定系統(tǒng)的自由度數(shù),,§ 1-1 自由度和廣義坐標,考慮由n個質點組成的系統(tǒng)受s個完整雙側約束,為系統(tǒng)的一組廣義坐標,各質點坐標表示為：,由等時變分運算確定第 i 個質點的虛位移：,廣義虛位移： 為廣義坐標 的變分，稱為廣義虛位移，由約束方程

6、求出,,§ 1-2 用廣義力表示的質點系平衡條件,主動力所作虛功的和為：,變換求和順序,,,考慮功是力與位移的乘積，因此稱Qk為對應于廣義坐標qk的廣義力。Qk的量綱由廣義坐標確定。,,§ 1-2 用廣義力表示的質點系平衡條件,根據(jù)虛功原理：對于具有理想約束的質點系，在給定位置平衡的必要和充分條件是，主動力系在質點系的任意虛位移中所作虛功之和等于零。,,具有理想約束的質點系，在給定位置平衡的必要和充分條件是

7、，對應于每個廣義坐標的廣義力都等于零。,? 結 論,系統(tǒng)所受約束越多，廣義坐標數(shù)越少，求解方便。,,§ 1-2 用廣義力表示的質點系平衡條件,求廣義力的方法：,法一：解析法,將主動力系的各力Fi的作用點的坐標xi，yi，zi寫成廣義坐標qk（k=1，2，…，N）的函數(shù)，對qk求偏導數(shù)后代入上式，即可求得廣義力，這種方法即解析法。,求廣義力的方法：,法二：幾何法,,§ 1-2 用廣義力表示的質點系平衡條件,可單一求

8、某個廣義力，如Q1，給質點系一組特殊的虛位移，其中只令廣義坐標中Q1的變更，而其余的廣義坐標保持不變，即令 這樣就可以求出所有主動力相應于廣義虛位移 所作的虛功之和，,,用同樣的方法可求出,,§ 1-2 用廣義力表示的質點系平衡條件,例：勻質桿OA和AB用鉸鏈A連接，鉸鏈O固定。兩桿的長度分別為l1和l2，重量為P1和P2，在桿的AB的B端受一水平力F作用，求平衡時兩桿與鉛垂直線

9、所成的夾角α和β。OA=l1AB=l2,解：本系統(tǒng)有兩個自由度，選角 α 和 β為廣義坐標。,,,,,,,,,,,,,,,,§ 1-2 用廣義力表示的質點系平衡條件,,,,,,,,,,,,,,,解：本系統(tǒng)有兩個自由度，選角 α 和 β為廣義坐標。,（1）解析法：,OA=l1AB=l2,,對上面三式取變分：,,,§ 1-2 用廣義力表示的質點系平衡條件,將它們代入下式并整理：,,,§ 1-2 用廣

10、義力表示的質點系平衡條件,由,可見，對應于廣義坐標α 和 β的廣義力為,由用廣義力表示的質點系的平衡條件可知：,,§ 1-2 用廣義力表示的質點系平衡條件,,,,,,,,,,,,,,,解析法的另一解法：,求出上式各項，并令Qα Qβ等于零，得：,,,§ 1-2 用廣義力表示的質點系平衡條件,,,,,,,,,,,,,,,用幾何法求解：,求廣義力QB：,,,,,§ 1-2 用廣義力表示的質點系平衡條件,,

11、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,求廣義力Qα：,得：,兩種方法結果一樣,,§ 1-2 用廣義力表示的質點系平衡條件,例：勻質桿AB長為l，重為P，被約束在一固定光滑的圓柱容器中，在鉛直面內平衡，設圓柱的半徑為R，求平衡位置。,,,,,,,,,,,,,,,,,解一：系統(tǒng)只有一個自由度。取桿質心縱坐標yC為廣義坐標，平衡時由虛功方程，有：,但 ，故必須,,§ 1-2 用廣義力表示的質

12、點系平衡條件,,,,,,,,,,,,,,,,,因為 ，故必須 ，得：,即桿在水平位置保持平衡。當 ，即桿在下水平位置時，穩(wěn)定平衡當 ，即桿在上水平位置時，不穩(wěn)定平衡,,§ 1-2 用廣義力表示的質點系平衡條件,,,,,,,,,,,,,,,,,解二：系統(tǒng)只有一個自由度。 取 為廣義坐標，平衡時由虛功方程

13、，有：,即,因為 ，故必須 ，得：,必須,得,,§ 1-2 用廣義力表示的質點系平衡條件,保守系的平衡條件,質點在有勢力作用下，當由某一位置 M 經(jīng)任意軌跡運動到某一選定位置（M0）時，該有勢力所作的功稱為質點在 M 處的勢能，即,在微小的實位移dr中，勢能的微小增量為,因為是保守系統(tǒng)，實位移是虛位移中的一個，將實位移換成虛位移，得,,§ 1-2 用廣義力表示的質點系平衡條件,對于由n

14、個質點所組成的保守系統(tǒng)，,而,,因系統(tǒng)的勢能V僅與質點系的各質點的位置有關，是位置的函數(shù)，若用廣義坐標 有關,,§ 1-2 用廣義力表示的質點系平衡條件,其變分有,,,§ 1-2 用廣義力表示的質點系平衡條件,對于保守系統(tǒng)，其廣義力等于質點系的勢能對對應于廣義坐標的一次偏導數(shù)冠以負號。,在保守系統(tǒng)情形下，質點系平衡的充分必要條件Qj=0等價于,,§ 1-2 用廣義力表示的質點系

15、平衡條件,,,,,,,穩(wěn)定平衡 隨遇平衡 不穩(wěn)定平衡勢能極小 勢能不變 勢能極大,一個自由度系統(tǒng),,平衡時,可求出平衡位置,,,為極小值，平衡是穩(wěn)定的,,為極大值，平衡是不穩(wěn)定的,,§ 1-2 用廣義力表示的質點系平衡條件,例：一個倒置的擺，擺錘重為P，擺桿

16、長度為l，在擺桿的點A連有一剛度系數(shù)為k的水平彈簧，擺在鉛直位置時彈簧未變形。設OA=a，擺桿重量不計，試確定擺桿的平衡位置及穩(wěn)定平衡時所應滿足的條件。,,§ 1-2 用廣義力表示的質點系平衡條件,,,,,,,,,,解：系統(tǒng)為一個自由度系統(tǒng)，擺角 為廣義坐標。,勢能零點：擺的鉛垂位置（重力和彈性力）,,系統(tǒng)的平衡位置為,,§ 1-2 用廣義力表示的質點系平衡條件,,,,,,,,,,判斷系統(tǒng)是否處于穩(wěn)定的平衡

17、位置,,對于穩(wěn)定的平衡位置,,§ 1-3 動力學普遍方程,,§ 1-3 動力學普遍方程,不計摩擦,應用達朗貝爾原理：主動力、慣性力、約束力構成平衡力系。如果只用主動力，該用什么方法？,應用虛位移原理，主動力的虛功之和為零,,設：質點系第i個質點的質量為mi，作用在其上的主動力Fi，約束力小FNi，質點的慣性力FI，,應用達朗貝爾原理：,應用虛位移原理：,若質點系所受約束為理想約束,動力學普遍方程,,§

18、 1-3 動力學普遍方程,,受有理想約束的質點系，在運動過程中，其上所受的主動力和慣性力在質點系的任何虛位移上所作的虛功之和為零。,動力學普遍方程的直角坐標形式：,§ 1-3 動力學普遍方程,動力學普遍方程,,§ 1-3 動力學普遍方程,動力學普遍方程,用動力學普遍方程求解問題的基本步驟,受力分析 —主動力分析，慣性力分析(慣性力系的簡化)與計算,運動分析 —系統(tǒng)的自由度分析，加速度和角加速度

19、分析和計算,虛功計算 —虛位移分析，主動力、慣性力和元功的計算,,例：圖示系統(tǒng)在鉛垂面內運動，各物體的質量為m，圓盤的半徑為R，圓盤在地面上做純滾動，若板上作用在一個力F，求板的加速度。,受力分析,虛位移分析,動力學普遍方程,解：運動分析，系統(tǒng)自由度N=1,由運動學普遍定理得：,§ 1-3 動力學普遍方程,,例：圖示系統(tǒng)在鉛垂面內運動，各物體的質量為m，圓盤的半徑為R，繩索與圓盤無相對滑動。求滑塊的加速度和圓盤C的角

20、加速度。,動力學普遍方程,解：運動分析，系統(tǒng)自由度N=2,受力分析,§ 1-3 動力學普遍方程,,動力學普遍方程,,§ 1-3 動力學普遍方程,,,,§ 1-3 動力學普遍方程,例：已知OA=l，繞O軸以勻角速度ω轉動，AB=2l，求系統(tǒng)在圖示位置時，力偶矩M的大小和方向（不計摩擦）。,,,,,,,,,,,,,,§ 1-3 動力學普遍方程,解：運動分析,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

21、,,,受力分析,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,§ 1-3 動力學普遍方程,虛位移分析,,,,,,,可求得M,,§ 1-3 動力學普遍方程,例：兩個質量相同的均質圓盤和均質桿用鉸鏈連接，并由繩索AB懸掛于天花板上，在圖示位置平衡，已知圓盤半徑為R，桿長為l，若繩索被剪斷的瞬時與地面間不會產(chǎn)生滑動，求圓盤和桿的角加速度。,,,,,,§ 1-3 動力學普遍方程,,,,解：加速度分析，添加慣性力

22、建立動力學普遍方程,,,,,,,,,,,,,,,§ 1-3 動力學普遍方程,,,,,,,,,設：圓盤和桿的虛位移為,,,,,,,§ 1-4 第二類拉格朗日方程,,質點 i 的虛位移,將上式代入動力學普遍方程式：,因qk是獨立的，所以,注意廣義力可得,1. 基本形式的拉格朗日方程,設：具有完整理想約束的非自由質點系有k個自由度，系統(tǒng)的廣義坐標為：,上式應用起來很不方便。我們要作變換,上式中的第二項與廣義力相對應

23、，稱為廣義慣性力。,注意到廣義力可得,拉格朗日改造動力學普遍方程的第一步：就是把主動力的虛功改造為廣義力虛功。,拉格朗日改造動力學普遍方程的第二步：就是改造慣性虛功項，使之與系統(tǒng)的動能的變化聯(lián)系起來。,,,,,,變換,2.,3.,1.,,可得,由,為理想完整系的拉格朗日方程，方程數(shù)等于質點系的自由度數(shù)。其中：,——主動力的廣義力，可以是力、力矩或其他力學量（不包含約束反力）,——體系相對慣性系的動能,——廣義動量，可為線動量、角動量或其

24、他物理量,2. 保守體系的拉格朗日方程,,2. 保守體系的拉格朗日方程,,將Qk代入拉格朗日方程式，得,想一想：上式的成立、適用條件是什么？,保守體系的拉格朗日方程為：,為拉格朗日函數(shù)（動勢），是表征體系約束運動狀態(tài)和相互作用等性質的特征函數(shù)。,勢能V不包含廣義速度，引入拉格朗日函數(shù),3. 對拉格朗日方程的評價,(1) 拉氏方程的特點（優(yōu)點）：,是一個二階微分方程組，方程個數(shù)與體系的自由度相同。形式簡潔、結構緊湊。而且無論選取什么參數(shù)作

25、廣義坐標，方程形式不變。,方程中不出現(xiàn)約束反力，因而在建立體系的方程時，只需分析已知的主動力，不必考慮未知的約束反力。體系越復雜，約束條件越多，自由度越少，方程個數(shù)也越少，問題也就越簡單。,拉氏方程是從能量的角度來描述動力學規(guī)律的，能量是整個物理學的基本物理量而且是標量，因此拉氏方程為把力學規(guī)律推廣到其他物理學領域開辟了可能性，成為力學與其他物理學分支相聯(lián)系的橋梁。,3. 對拉格朗日方程的評價,(2) 拉氏方程的價值,拉氏方程在理論上、

26、方法上、形式上和應用上用高度統(tǒng)一的規(guī)律，描述了力學系統(tǒng)的動力學規(guī)律，為解決體系的動力學問題提供了統(tǒng)一的程序化的方法，不僅在力學范疇有重要的理論意義和實用價值，而且為研究近代物理學提供了必要的物理思想和數(shù)學技巧。,,,應用拉氏方程解題的步驟： 1. 判定質點系的自由度k，選取適宜的廣義坐標。必須注意：不能遺漏獨立的坐標，也不能有多余的（不獨立）坐標。 2. 計算質點系的動能T，表示為廣義速度和廣義坐標的

27、函數(shù)。 3. 計算廣義力 ，計算公式為：,或,若主動力為有勢力，也可將勢能 V 表示為廣義坐標的函數(shù)。 4. 建立拉氏方程并加以整理，得出k個二階常微分方程。 5. 求出上述一組微分方程的積分。,M1-63,[例] 物塊C的質量為m1，A，B兩輪皆為均質圓輪，半徑R，質量為m2，求系統(tǒng)的運動微分方程。,解：圖示機構只有一個自由度

28、，所受約束皆為完整、理想、定常的，以物塊平衡位置為原點，取x 為廣義坐標。,系統(tǒng)勢能：(以彈簧原長為彈性勢能零點),M1-64,,系統(tǒng)動能：,系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)（動勢）,代入拉格朗日方程,M1-65,,注意到,可得系統(tǒng)的運動微分方程,,§ 1-4 第二類拉格朗日方程,,,,,,,,,例：長為l，質量為m的勻質桿繞水平軸B轉動，求其動力學方程,解：1、系統(tǒng)的自由度為k=1,2、系統(tǒng)的廣義坐標：,3、系統(tǒng)的動能：,4、系統(tǒng)的廣

29、義力：,,§ 1-4 第二類拉格朗日方程,第二類拉格朗日方程的幾種形式,1、當主動力均為有勢力時,設：L=T-V(拉格朗日函數(shù) 動勢),,,,,§ 1-4 第二類拉格朗日方程,2、當主動力均為非有勢力時,設：L=T-V(拉格朗日函數(shù)),,應用拉格朗日方程建立系統(tǒng)動力學的基本步驟：,1、確定系統(tǒng)的自由度和廣義坐標,2、用廣義速度和廣義坐標給出系統(tǒng)的動能和勢能,3、給出系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù),4、確定系統(tǒng)的廣義力,,&

30、#167; 1-4 第二類拉格朗日方程,例：圖示機構在鉛垂面內運動，勻質桿AB用光滑鉸鏈與滑塊連接。求系統(tǒng)的運動微分方程。AB=2l,,,,,,,,解：1、系統(tǒng)的自由度 k = 2，,系統(tǒng)的廣義坐標,2、系統(tǒng)的動能和勢能,,,,,,§ 1-4 第二類拉格朗日方程,,,,,,,,,,,3、求非有勢力的廣義力,4、建立系統(tǒng)運動微分方程,,§ 1-4 第二類拉格朗日方程,4、建立系統(tǒng)運動微分方程,9-2-4 拉氏方

31、程的應用,應用拉格朗日方程求解受約束系統(tǒng)的動力問題，首先需要判斷約束是否完整，這是應用拉氏方程的前提；其次看主動力是否有勢，由此選擇拉氏方程形式。,，,,系統(tǒng)自由度為1。取輪心B沿斜面位移x為廣義坐標。平衡位置為零勢能位置，則任意x位置時，系統(tǒng)動勢,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應用,1.此處勢能V為什么與彈簧初始變形和重力無關?,2.試用動能定理求解例1，并比較兩種方法的異同。,振動圓頻率,9-2

32、 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應用,本系統(tǒng)為完整約束，主動力非有勢，采用基本形式的拉氏方程求解。,①判斷系統(tǒng)的自由度，取廣義坐標。,本題中，,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應用,②計算系統(tǒng)的T與,,則有,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應用,③代入拉氏方程，得系統(tǒng)的運動微分方程。,,(a),,(b),④解方程，求加速度。,，得,,9-2 拉格朗日方程,9-2-4

33、拉氏方程的應用,試用動力學普遍方程，動力學普遍定理，達朗貝爾原理求解例2，并比較各種方法的特點。,完整系統(tǒng)多自由度動力問題，采用拉氏方程，步驟規(guī)范，便于求解。拉氏方程與動力學普遍方程對于完整系統(tǒng)本質上一致，前者從能量，后者從受力入手考察系統(tǒng)的運動。,9-2 拉格朗日方程,題型特點:,9-2-4 拉氏方程的應用,9-2-4 拉氏方程的應用,9-2 拉格朗日方程,(彈簧的絕對伸長量)為廣義坐標。取系統(tǒng)的初始位置為零勢能

34、位置。在任意時刻t，有,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應用,將以上各項代入下列拉氏方程,,(b),9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應用,(c),其中,由式(c)解得,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應用,將式(d)代入式(c)，再將式(c)和(d)代入式(b)得,順便指出，由式(c)和(d)可知，物B相對于物A作在常力作用下的簡諧振動，其振幅為,，固有頻率為,多自由度

35、完整約束保守系統(tǒng)問題，應用含L的拉氏方程，不需求廣義力，求解較為簡便。,題型特點:,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應用,(b)試用質心運動定理和動能定理求解例3，并比較各種方法特點。,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應用,選x和θ為廣義坐標。,9-3-2 廣義能量積分(機械能守量),第九章 拉格朗日方程,故有循環(huán)積分， 常數(shù)(初始為0),又,約束定常，且完整理想。,即

36、 (b),x方向廣義動量守恒，并非系統(tǒng)x方向動量。,9-3-2 廣義能量積分(機械能守量),第九章 拉格朗日方程,時，(a)，(b)兩式為,解之得,1. 若接觸平面光滑(f=0)，結果如何? 2. 若左邊連接一水平彈簧(k)，結果又如何?,9-3-2 廣義能量積分

37、(機械能守量),第九章 拉格朗日方程,例 質量為M的均質圓柱再三角塊斜邊上作純滾動，如圖所示。三角塊的質量也為M，置于光滑水平面上，其上有剛度系數(shù)為k的彈簧平行于斜面系在圓柱體軸心O上。設角 試用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運動微分方程。,解： 取整個系統(tǒng)為研究對象,三角塊作平動，圓柱作平面運動，系統(tǒng)具有兩個自由度。,選三角塊的水平位移 和圓柱中心O沿三角塊斜面的位移 為廣義坐標，其中

38、 由靜止時三角塊任一點位置計起， 由彈簧原長處計起如圖 。因為作用在系統(tǒng)上的主動力mg 和彈性力均為有勢力，所以，可用拉格朗日方程式求解,取圓柱中心O為動點，動系與三角塊固連，定系與水平面固連，則O點的絕對速度,其中,所以，系統(tǒng)的動能,將以上表達式代入,整理得到系統(tǒng)的微分方程,,例 如圖所示系統(tǒng)中，均質圓柱B的質量 ，半徑R=10cm,通過繩和彈簧與質量 的物塊M相

39、連，彈簧的剛度系數(shù) ,斜面的傾角 。假設圓柱B滾動而不滑動，繩子的傾角段與斜面平行，不計定滑輪A，繩子和彈簧的質量，以及軸承A處摩擦，試求系統(tǒng)的運動微分方程,解：取整個系統(tǒng)為研究對象。圓柱B作平面運動物塊M作作平動，定滑輪A作定軸轉動,系統(tǒng)有兩個自由度，選圓柱B的質心沿斜面向上坐標 及物塊M鉛垂向下的的坐標 為廣義坐標，其原點均在靜平衡位置。如圖,因為作用

40、在系統(tǒng)上的主動力重力 和彈性力均為有勢力,所以可用拉格朗日方程式求解,若選彈簧原長處為勢能零點，則系統(tǒng)的勢能,故系統(tǒng)的拉氏函數(shù),求各偏導數(shù)：,系統(tǒng)的動能,選靜平衡位置為勢能零點，故彈性力靜變形的勢能與重力勢能相互抵消，于是系統(tǒng)的勢能,故系統(tǒng)的拉氏函數(shù),求各偏導數(shù),將以上的表達式代入,,整理得到系統(tǒng)的微分方程,代入已知值,,動力學的基本方法,牛頓定律,動量定理動量矩定理動能定理,達朗貝

41、爾原理——動靜法,,虛位移原理,動力學普遍方程和拉格朗日方程,,§ 1-5 拉格朗日方程的初積分,一、質點系動能的結構,,§ 1-5 拉格朗日方程的初積分,對于定常約束的質點系有：,廣義速度的二次項,,,§ 1-5 拉格朗日方程的初積分,已知非定常約束,則系統(tǒng)的自由度k=1,系統(tǒng)的廣義坐標：q,系統(tǒng)的動能：,,§ 1-5 拉格朗日方程的初積分,二、循環(huán)積分,設：系統(tǒng)主動力為有勢力,循環(huán)坐標

42、：拉格朗日方程中不顯含的廣義坐標qi(i=1,…,r),拉格朗日函數(shù)表示成：,則,該式稱為循環(huán)積分,pi 稱為對應于廣義坐標qi(i=1,…,r)的廣義動量,pi 可以是動量、也可以是動量矩,,§ 1-5 拉格朗日方程的初積分,證明：,當主動力為有勢力時，系統(tǒng)的拉格朗日方程為：,若拉格朗日方程中不顯含的廣義坐標,,,設 是 的n次齊次函數(shù)，則,,§ 1-5 拉格朗日方

43、程的初積分,三、能量積分,設：系統(tǒng)主動力為有勢力,如果保守系統(tǒng)拉格朗日方程中不顯含時間t,則,該式稱為拉格朗日方程的廣義能量積分,n次齊次函數(shù)的歐拉定理：,,§ 1-5 拉格朗日方程的初積分,設 是 的n次齊次函數(shù)，則,說明：,,§ 1-5 拉格朗日方程的初積分,設 是 的n次齊次函數(shù)，則,說明：,,§ 1-5 拉格朗日方

44、程的初積分,如果保守系統(tǒng)拉格朗日方程中不顯含時間t,,,,,§ 1-5 拉格朗日方程的初積分,,,,,§ 1-5 拉格朗日方程的初積分,? 結 論,一、質點系動能的結構,二、循環(huán)積分,循環(huán)坐標：拉格朗日方程中不顯含的廣義坐標qi(i=1,…,r),三、能量積分,該式稱為拉格朗日方程的廣義能量積分,,§ 1-5 拉格朗日方程的初積分,,,,,,,,,,,,給出拉格朗日方程的初積分,解：系統(tǒng)的主動力為有勢

45、力,系統(tǒng)的動能和勢能分別為：,拉格朗日函數(shù),不顯含廣義坐標 x 和時間 t,,,,,,,,,,,,,§ 1-5 拉格朗日方程的初積分,循環(huán)積分——系統(tǒng)的水平動量守恒,能量積分——機械能守恒,,第二類拉格朗日方程總結,對于具有完整理想約束的質點系，若系統(tǒng)的自由度為k，則系統(tǒng)的動力學方程為：,其中：L=T-V T：系統(tǒng)的動能，V：系統(tǒng)的勢能 ：為對應于廣義坐標 qj 的非有勢力的廣義力,當系統(tǒng)為保守系統(tǒng)時，有：1、若系

46、統(tǒng)存在循環(huán)坐標q，則：2、若系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)不顯含時間t，則：,,哈密頓方程簡介,一、哈密頓方程,其中：,哈密頓方程是關于廣義坐標和廣義動量的一階微分方程,對于定常約束的保守系統(tǒng)，哈密頓函數(shù)H是系統(tǒng)的動能和勢能的和,,哈密頓方程簡介,,求自由質點在重力場中的哈密頓函數(shù)和哈密頓方程,解：1、系統(tǒng)的廣義坐標x,y,z,2、系統(tǒng)的動能,,,哈密頓方程簡介,系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)H=T+V,,哈密頓方程簡介,,,,,,,,,,,例：圖示機構在鉛

47、垂面內運動，勻質桿AB用光滑鉸鏈與滑塊連接，桿與滑塊用剛度系數(shù)為k1的扭簧連接，θ=π時扭簧無變形，求系統(tǒng)哈密頓方程（用矩陣形式給出）。AB=2l,解：,,哈密頓方程簡介,,M是正定對稱矩陣，是廣義坐標的函數(shù),,,哈密頓方程簡介,系統(tǒng)的哈密頓方程 H=T+V,用矩陣形式便于并行計算可提高運行速度,,哈密頓方程簡介,,哈密頓方程簡介,,哈密頓方程簡介,哈密頓方程 可長期穩(wěn)定運行。穩(wěn)定運行的意義——長時間的預報問題，例軌道預測等

48、——提高預測精度和速度,,拉格朗日方程 習題練習,例：在圖示機構中，勻質圓盤在地面上純滾動，勻質桿AB用光滑鉸鏈與圓盤連接。初始時，桿水平，系統(tǒng)靜置。求系統(tǒng)在圖示位置時，桿的角速度、角加速度以及A點的速度和加速度。AB=L,,解：系統(tǒng)的主動力均為有勢力,,拉格朗日方程 習題練習,拉格朗日方程 習題練習,,當,,,,代入,求,將上式對時間求導得：,,§1-6 第一類拉格朗日方程,,§1-6 第一類拉格朗日方程,

49、,一、問題的提出,利用δqj 的獨立性，,,§1-6 第一類拉格朗日方程,,§1-6 第一類拉格朗日方程,二、第一類拉格朗日方程,設描述系統(tǒng)的位形坐標：,系統(tǒng)的約束方程為：,系統(tǒng)的自由度為：,受完整理想約束的Hamilton原理：系統(tǒng)的真實運動滿足,,§1-6 第一類拉格朗日方程,其中： 為約束力對應于坐標 qj 的廣義力,稱為拉格朗日乘子,,§

50、1-6 第一類拉格朗日方程,例：質量為m的質點被約束在光滑的水平軸y上運動，用第一類拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運動微分方程,解：1、系統(tǒng)的動能和約束方程,2、求系統(tǒng)主動力的廣義力,,§1-6 第一類拉格朗日方程,,,,,,,,例：質量為m，半徑為R的勻質圓盤在水平面上純滾動，其上作用有力Fx， Fy和力偶M，求圓盤角加速度、質心加速度和摩擦力。,解：動能、約束方程和 主動力的廣義力,,§1-6 第一類拉格朗日方程,