不動(dòng)點(diǎn)定理及其應(yīng)用(高考)

1、I摘要本文首先介紹Banach空間中的不動(dòng)點(diǎn)定理、在其他線(xiàn)性拓?fù)淇臻g中不動(dòng)點(diǎn)定理的一維推廣形式、在一般完備度量空間上的推廣形式.其次通過(guò)分析近幾年全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)卷中一些試題特點(diǎn)總結(jié)了利用不動(dòng)點(diǎn)定理求解有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題.其中包括數(shù)列通項(xiàng)、數(shù)列的有界性問(wèn)題.最后介紹了不動(dòng)點(diǎn)定理中的吸引不動(dòng)點(diǎn)和排斥不動(dòng)點(diǎn)在討論數(shù)列的單調(diào)性及收斂性方面的應(yīng)用.關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：Banach不動(dòng)點(diǎn)定理數(shù)列通項(xiàng)，有界性，單調(diào)性，收斂性.AbstractThisarti

2、clefirstlyintroducedtheFixpointTheeminBanachspacetheonedimensionalextendedfmoftheFixpointTheeminotherlineartopologicalspacetheextendedfmingeneralcompletemetricspace.ThenwesummarizedtheproblemonsequenceofnumberusingFixpoi

3、ntTheemanalyzingtheacteristicsoftestsemergedonmathpapersofallpartsofourcountryrecentyearsincludingtheproblemofgeneraltermboundednessofasequenceofnumber.AtlastattractivefixpointrejectionfixpointinFixpointTheemwereintroduc

4、edwhichcansolvetheproblemaboutthemonotonicityastringencyofsequenceofnumber.Keywds:BanachfixedpointtheemSequenceBoundednessMonotonicityConvergence.iii第1章緒論緒論1.11.1導(dǎo)論導(dǎo)論不動(dòng)點(diǎn)理論的研究興起于20世紀(jì)初荷蘭數(shù)學(xué)家布勞維在1909年創(chuàng)立了不動(dòng)點(diǎn)理論[1]在此基礎(chǔ)上，不動(dòng)點(diǎn)定理有了

5、進(jìn)一步的發(fā)展，并產(chǎn)生了用迭代法求不動(dòng)點(diǎn)的迭代思想美國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨在1923年發(fā)現(xiàn)了更為深刻的不動(dòng)點(diǎn)理論，稱(chēng)為萊布尼茨不動(dòng)點(diǎn)理論[2]1927年，丹麥數(shù)學(xué)家尼爾森研究不動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，并提出了尼爾森數(shù)的概念[3]我國(guó)數(shù)學(xué)家江澤涵、姜伯駒、石根華等人則大大推廣了可計(jì)算尼森數(shù)的情形，并得出了萊布尼茨不動(dòng)點(diǎn)理論的逆定理[4]不動(dòng)點(diǎn)理論一個(gè)發(fā)展方向是只限于歐氏空間多面體[5]上的映射不動(dòng)點(diǎn)理論的另一個(gè)發(fā)展方向是不限于歐氏空間中多面體上的映射，而考

6、察一般的距離空間或線(xiàn)性拓?fù)淇臻g上的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題最后給出結(jié)果的是波蘭數(shù)學(xué)家巴拿赫(Bananch)[6]，他于1922年提出的壓縮映像原理發(fā)展了迭代思想，并給出了Banach不動(dòng)點(diǎn)定理[6]這一定理有著及其廣泛的應(yīng)用，像代數(shù)方程、微分方程、積分方程、隱函數(shù)理論等中的許多存在性與唯一性問(wèn)題均可以歸結(jié)為此定理的推論1.1.1選題背景選題背景不動(dòng)點(diǎn)定理在微分方程、函數(shù)方程、動(dòng)力系統(tǒng)理論等中有極為廣泛的應(yīng)用.函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)“理論雖然不是中學(xué)教材的必

7、修內(nèi)容，但是它的存在確實(shí)使一些數(shù)學(xué)問(wèn)題在無(wú)法想象中得到了解決.已知遞推公式求其數(shù)列通項(xiàng)，數(shù)列有界性、數(shù)列的單調(diào)性及收斂性等，歷來(lái)是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)題型，對(duì)那些已知遞推關(guān)系但又難求通項(xiàng)的數(shù)列綜合問(wèn)題，充分運(yùn)用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解決這類(lèi)問(wèn)題的著手點(diǎn)和關(guān)鍵因此，它就自然成為各類(lèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽和選擇性考試必選的內(nèi)容之一，尤其在近年的高考中對(duì)該定理的應(yīng)用越來(lái)越頻繁.1.1.2選題意義選題意義利用“不動(dòng)點(diǎn)”法巧解高考題，遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)，證明數(shù)列的有界