線性代數同濟六版知識點總結

1、1.二階行列式二階行列式對角線法則對角線法則:|11122122|=1122?12212.三階行列式三階行列式①對角線法則對角線法則②按行（列）展開法則按行（列）展開法則3.全排列：全排列：n個不同的元素排成一列。個不同的元素排成一列。所有排列的種數用所有排列的種數用表示，表示，=n！逆序數：對于排列逆序數：對于排列…，如果排在元素，如果排在元素前面，且比前面，且比大的元素個數有大的元素個數有個，則個，則這個元素的逆序數為這個元素的逆序

2、數為。12整個排列的逆序數就是所有元素的逆序數之和。整個排列的逆序數就是所有元素的逆序數之和。奇排列：逆序數為奇數的排列。偶排列：逆序數為偶數的排列。奇排列：逆序數為奇數的排列。偶排列：逆序數為偶數的排列。n個元素的所有排列中，奇偶各占一半，即個元素的所有排列中，奇偶各占一半，即!2對換：一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性對換：一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性.4.其中：其中：是123的一個排列，的一個排列，123

3、t()是排列是排列的逆序數的逆序數1231235.下三角行列式下三角行列式:副三角跟副對角相識副三角跟副對角相識對角行列式：對角行列式：副對角行列式：副對角行列式：6.行列式的性質：行列式的性質：①行列式與它的轉置行列式相等行列式與它的轉置行列式相等.（轉置：行變列，列變行）（轉置：行變列，列變行）。D=②互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列），行列式變號。，行列式變號。推論推論：兩行（列）相同的行列式值為零。：兩行（列）相同的行

4、列式值為零。互換兩行：互換兩行：?③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一個數行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一個數k，等于用數，等于用數k乘此行列式。第乘此行列式。第i行乘行乘k：xk推論推論：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號外面：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號外面④行列式中如果有兩行（列）元素成比例行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于，則此行列式等于0⑤若行列式的某一列（行）的

5、元素都是兩個元素和，則此行列式等于兩個行列式之和。如：若行列式的某一列（行）的元素都是兩個元素和，則此行列式等于兩個行列式之和。如：⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍數后加到另一行（列）的對應元素上去，行列式的值不變。如把行列式的某行（列）的各元素同一倍數后加到另一行（列）的對應元素上去，行列式的值不變。如第j列的列的k倍加到第倍加到第i列上：列上：333231232221131211aaaaaaaaa3221312312332211

6、aaaaaaaaa13???312213332112322311aaaaaaaaa???32132123312322211312113j2j1j)jjt(j33aaaaaaaaaaaa1)(???nn2211nnn2n1222111...aaaa...aa0aaa????n...λλλλλλ21n21??n21λλλ?n2121)n(nλλλ1)(?????nnnjnjn2n12n2j2j22211n1j1j1211a)c(baaa)c

7、(baaa)c(baa?????????????nnnjn2n12n2j22211n1j1211nnnjn2n12n2j22211n1j1211acaaacaaacaaabaaabaaabaa??????????????????????nnnjnjnin12n2j2j2i211n1j1j1i11aakaaaaakaaaaakaaa????????????????nnnjnin12n2j2i211n1j1i11aaaaaaaaaaaa??

8、??????????????1212diagnn?????????????????????????111???????????????E?2.矩陣的運算矩陣的運算1）加法：只有兩個矩陣為同型矩陣時，才能進行加法運算。）加法：只有兩個矩陣為同型矩陣時，才能進行加法運算。AB等于對應元素相加起來。滿足交換律和結合律等于對應元素相加起來。滿足交換律和結合律2）數與矩陣相乘）數與矩陣相乘①()()AA?????，②，()???????AAA③(

9、)??????ABAB3）矩陣與矩陣相乘：要求前一個矩陣的列數等于后一個矩陣的行數；）矩陣與矩陣相乘：要求前一個矩陣的列數等于后一個矩陣的行數；乘積矩陣的行數為前一個矩陣的行數，列數為后一個矩陣的列數；乘積矩陣的行數為前一個矩陣的行數，列數為后一個矩陣的列數；11221sijijisijsjkkkijcabababab????????即：乘積矩陣的第即：乘積矩陣的第行，第行，第列元素為前一個矩陣的第列元素為前一個矩陣的第行元素與后一個矩

10、陣的第行元素與后一個矩陣的第行元素對應相乘再行元素對應相乘再ijij相加。相加。注意：一般情況下：注意：一般情況下：AB≠BA。但是滿足結合律和分配律。但是滿足結合律和分配律。EA=AE=A4）矩陣的冪：若）矩陣的冪：若A是n階方陣，則：階方陣，則：顯然：顯然：2=3=2……=?122222()()2()()kkkABABABAABBABABAB?????????3.矩陣的轉置：把矩陣矩陣的轉置：把矩陣A的行換成同序數的列得到的新矩陣，

11、記作的行換成同序數的列得到的新矩陣，記作AT.如：如：性質：性質：設A為n階方陣，如果滿足階方陣，如果滿足，即，即，則，則A為對稱陣為對稱陣A==如果滿足如果滿足，即，即，則，則A為反對稱陣為反對稱陣A==4.方陣的行列式：由方陣的行列式：由n階方陣階方陣的元素所構成的行列式，叫做方陣的元素所構成的行列式，叫做方陣A的行列式，記作的行列式，記作|A|或detA.性質：性質：①，②，③。T||||?AA||||n???AA||||||?A

12、BAB5.伴隨矩陣：伴隨矩陣：其中其中是的代數余子式，的代數余子式，稱為稱為的伴隨矩陣。的伴隨矩陣。（特別注意符號）（特別注意符號）AAA、B可交換時才成立可交換時才成立()klklklklAAAAA???122458A???????142528TA???????????(1)()TTAA?(2)()TTTABAB???(3)()TTAA???(4)().TTTABBA?112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA?????