近世代數(shù)第二章答案

1、第1頁共21頁近世代數(shù)第二章群論答案近世代數(shù)第二章群論答案1.1.群的定義群的定義1.全體整數(shù)的集合對于普通減法來說是不是一個群？解：不是，因為普通減法不是適合結合律。例如??321312???????321110?????????321321?????2.舉一個有兩個元的群的例。解：令的乘法由下表給出G?ea??G首先，容易驗證，這個代數(shù)運算滿足結合律(1)????xyzxyzxyzG???????????因為，由于，若是元素在(1)

2、中出現(xiàn)，那么(1)成立。eaaea??e(參考第一章，4，習題3。)若是不在(1)中出現(xiàn)，那么有e??aaaeaa????aaaaea??而(1)仍成立。其次，有左單位元，就是；有左逆元，就是，有左逆元，Geeea就是。所以是一個群。aG讀者可以考慮一下，以上運算表是如何作出的。3.證明，我們也可以用條件Ⅰ，Ⅱ以及下面的條件，來做群IV?V?第3頁共21頁的假設矛盾。這樣，也是的階，易見。n1a?1aa??否則21==aaae?與的假設

3、矛盾。這樣，我們就有一對不同的階大于2的元2n和。a1a?設還有元，，，并且b的階大于2。那么的階也Gbba?1ba??1b?大于2，并且。我們也有。1bb??1ba??否則1111===ebbaaba????消去得，與假設矛盾。同樣可證。這樣，除和1b?1=ba?11=ba??a外，又有一對不同的階大于2的元和。1a?b1b?由于是有限群，而的階大于2的元總是成對出現(xiàn)，所以里GGG這種元的個數(shù)一定是偶數(shù)。3.假定是一個階是偶數(shù)的有限群