專題18最值和定值問(wèn)題與高考走勢(shì)

1、1專題18最值和定值問(wèn)題與高考走勢(shì)●蔣榮清（臺(tái)州市教育局教研室浙江臺(tái)州318000）【高考展望】最值和定值是反映變量在變化過(guò)程中的兩個(gè)特定狀態(tài)，最值著眼于變量的最大（或最?。┲狄约叭〉米畲螅ɑ蜃钚。┲档臈l件；定值著眼于變量在變化過(guò)程中的不變量最值和定值問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中碰到的最普遍、最重要的題型之一，并且表現(xiàn)的形式與解決的方法也是千變?nèi)f化的說(shuō)它普遍，是最值和定值問(wèn)題涉及到知識(shí)載體有函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式、三角、立體幾何、解析幾何、向

2、量等，幾乎包羅所有知識(shí)的方方面面有些應(yīng)用問(wèn)題也常以最值作為設(shè)問(wèn)的方式分析和解決最值問(wèn)題和定值問(wèn)題的思路和方法也是多種多樣的，可以檢測(cè)學(xué)生知識(shí)掌握的程度和思維能力層次另一方面，最值問(wèn)題在生產(chǎn)、科學(xué)研究和日常生活中有著廣泛的應(yīng)用因此命制最值問(wèn)題和定值問(wèn)題能較好體現(xiàn)數(shù)學(xué)高考試題的命題原則近幾年的每一份數(shù)學(xué)高考試題中，都會(huì)出現(xiàn)各種各樣的最值問(wèn)題和定值問(wèn)題，并且所占的分值均在10分~25分左右，如將取值范圍等問(wèn)題也歸類到最值中去，所占比重更大應(yīng)對(duì)

3、最值問(wèn)題和定值問(wèn)題，要掌握各數(shù)學(xué)分支知識(shí)，能綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)技能，認(rèn)真分析題目的情景，靈活選擇合理的解題方法最值和定值問(wèn)題仍然是09年高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)與熱點(diǎn)問(wèn)題，既要進(jìn)行專題歸納，更要在平時(shí)的教學(xué)中加以落實(shí)定值問(wèn)題關(guān)注的重點(diǎn)應(yīng)在解析幾何方面【典例剖析】例1若是與的等比中項(xiàng)，則的最大值為（）a12b?12b?2||2||abab?ＡＢＣＤ2515245522(2007年重慶理7)分析一是與的等比中項(xiàng)，即?a12b?12b??2214ab??

4、2241ab??顯然，當(dāng)時(shí)，不會(huì)取到最大值，故只需討論情況0ab?2||2||abab?0ab?由，得，＝，2241ab??0ab?104ab??2||2||abab?11212422||||||baab???當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立故選Ｂ2224ab?????????2224ab???????????分析二是與的等比中項(xiàng)，則?a12b?12b?222214414||.ababab??????1||.4ab??2224(||2||)4||1.ab

5、abab??????3它們的乘積是.11|2|5xy??221111|2||4|4555xyxy????點(diǎn)到雙曲線的兩條漸線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù).P（2）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，則()xy222||(3)PAxy???22(3)14xx????25124()455x???，當(dāng)時(shí)，的最小值為，即的最小值為.?||2x??125x?2||PA45||PA255評(píng)注①本題是既有最值又有定值的問(wèn)題，屬中檔題涉及到的知識(shí)有雙曲線漸近線概念，點(diǎn)到直線距離

6、公式，兩點(diǎn)間距離公式，二次函數(shù)等；②容易出錯(cuò)的是第（2）小題中的取值范圍，因P點(diǎn)在雙曲線上，隱含著這x||2x?一條件如將A（3，0）改為A（），求的最小值就要對(duì)進(jìn)行分類討論0a||PAa例3求函數(shù)的最小值2211[]2211xxyxxx??????分析此函數(shù)不熟悉，二條路可選擇，一條是對(duì)解析式進(jìn)行變形或通過(guò)換元進(jìn)行化簡(jiǎn)；另二條通過(guò)函數(shù)性質(zhì)入手第一條不太好走，從第二條入手不難知道該函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)0x?0y?時(shí)，，因此最小值一定

7、在時(shí)取到當(dāng)時(shí)，0x?0y?0x?0x?，，222211()111111xxyxxxx?????????1[0]2x????2211xxyxx????在上為增函數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，1[0]2?12x??min11()53y???評(píng)注①求函數(shù)最值的重要依據(jù)是函數(shù)的性質(zhì)（如單調(diào)性、周期性、奇偶性、連續(xù)性等）；②研究函數(shù)單調(diào)性另一個(gè)重要方法就是利用導(dǎo)數(shù)這一利器，本題也如此，在上單調(diào)遞增?2220(1)(1)yxx?????2211xxyxx????1