向量的數(shù)量積在解題中的應用

1、向量的數(shù)量積在解題中的應用高中數(shù)學新增內容《平面向量》中介紹了兩個向量的數(shù)量積的概念和性質。概念：已知兩個非零向量和的夾角為θ(0θ)，則實數(shù)||||cosθ叫做a?b????a?b?a?與的數(shù)量積，記作即=||||cosθ，由向量數(shù)量積的概念和向量的b?a?b?a?b?a?b?坐標運算得到，若=（x1y1)=(x2y2)則=x1x2y1y2a?b?a?b?主要性質：①θ為鈍角或平角0?a?b?③θ為直角.=0?a?b?④||||||a

2、?b??a?b?課本上的習題多用性質③判斷兩個向量是否垂直關于其它性質應用的習題不多。其實性質①②④在解題中也廣泛應用，現(xiàn)舉例說明。一、利用向量數(shù)量積判斷三角形的形狀例1在△ABC中，==若＞0試判斷△ABC的形狀.AB????a?CA????b?a?b?解：=||||cos(π－A)=－||||cosA∵＞0，∴cosA＜a?b?a?b?a?b?a?b?0，∵A≠π，∴A為鈍角∴ABC為鈍角三角形二、利用向量數(shù)量積求函數(shù)的最大值例2求

3、函數(shù)y=的最大值（新加坡競賽題）1sinx?1sinx?解：設=（1，1）=()則a?b?1sinx?1sinx?=11=a??b??1sinx??1sinx?1sinx?1sinx?y=≤||||==2(當sinx=0時取“=”)a??b?a?b?2211??(1sin)(1sin)xx???∴函數(shù)的最大值是2三、利用向量數(shù)量積證明不等式例3求證：（x1x2y1y2）2≤（x12y12）（x22y22）證明：設=（x1y1）=(x2y