2018年全國高中數學聯(lián)合競賽(a卷)

1、第1頁共2頁2018年全國高中數學聯(lián)賽競賽年全國高中數學聯(lián)賽競賽一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分。1.設集合，，則的元素個數為______.12399A?…2||2BxxACxxA????BC?2.設點到平面的距離為，點在平面上，使得直線與所成角不小于且不大于，P?3Q?PQ?30?60?則這樣的點所構成的區(qū)域的面積為______.Q3.將隨機排成一行，記為，則是偶數的概率為______.123456abcdefabc

2、def?4.在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別是，橢圓的弦xOy2222:1(0)xyCabab????12FF、C與分別平行于軸與軸，且相交于點。已知線段的長分別為，則STUVxyPPUPSPVPT1236的面積為______.12PFF?5.設是定義在上的以為周期的偶函數，在區(qū)間上嚴格遞減，且滿足()fxR2[01]()1(2)2ff????，則不等式組的解集為______.121()2xfx???????6.設復數滿足，使得

3、關于的方程有實根，則這樣的復數的和為______.z||1z?x2220zxzx???z7.設為的外心，若，則的值為______.OABC?2AOABAC??????????????sinBAC?8.設整數數列滿足，且1210aaa…10128532aaaaa???，112129iiiaaai?????…則這樣的數列的個數為______。二、解答題：本大題共3小題，滿分56分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。9.（本題滿分16分

4、）已知定義在上的函數為R?()fx3|log1|09()49xxfxxx???????????設是三個互不相同的實數，滿足，求的取值范圍。abc()()()fafbfc??abc10.（本題滿分20分）已知實數列滿足：對任意正整數，有，其中表123aaa…n(2)1nnnaSa??nS示數列的前項和。證明：n1）對任意正整數，有；n2nan?2）對任意正整數，有。n11nnaa??11.在平面直角坐標系中，設是拋物線的過點的弦，的外接圓

5、交拋物線xOyAB24yx?(10)FAOB?于點（不同于點）。若平分，求的所有可能值。POABPFAPB?||PF加試（加試（A卷）卷）一、（本題滿分40分）設是正整數，，均為正實數，滿足n1212nnaaabbb?…AB，且。12iiiabaAin???…1212nnbbbBaaaA?……二、（本題滿分40分）如圖，為銳角三角形，，為邊的中點，點和分別ABC?ABAC?MBCDE為的外接圓和的中點，為的內切圓在邊上的切點，為與ABC

6、?ABACABCFABC?ABGAEBC的交點，在線段上，滿足。NEFNBAB?證明：若，則。（答題時請將圖畫在答卷紙上答題時請將圖畫在答卷紙上）BNEM?DFFG?第2頁共2頁三、（本題滿分50分）設是正整數，滿足，且。設是的nkm2k?21knmnk???A12m…n元子集。證明：區(qū)間中的每個整數均可表示為，其中。(0)1nk?aa??aaA??四、（本題滿分50分）數列定義如下：是任意正整數，對整數，是與互素，且不na1a1n?1