14平面幾何1981-2018年歷年數(shù)學(xué)聯(lián)賽48套真題分類匯編含詳細(xì)答案

1、1981 年~2018 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試試題分類匯編1、平面幾何部分2018A 二、 （本題滿分 40 分）如圖所示， 為銳角三角形， ， 為邊 的中點(diǎn)，點(diǎn) 和 分別為 ABC ? AC AB ? M BC D E的外接圓弧 和 的中點(diǎn)， 為 內(nèi)切圓在 邊上的切點(diǎn)， 為 ABC ? BAC BC F ABC ? AB G AE與 的交點(diǎn)， 在線段 上，滿足 . BC N EF AB NB ?證明：若 ,則 。 （答題時(shí)請(qǐng)將圖畫在

2、答卷紙上） EM BN ? FG DF ?★證明： ★證明：由條件知， 為 外接圓的直徑， 于 ， 。記 為 DE ABC ? BC DE ? M AD AE ? I的內(nèi)心，則 在 上， 。由 可知， ABC ? I AE AB IF ? AB NB ?MEI ADE ADE ABN ABE NBE ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 90 90 ) 180 (又根據(jù)內(nèi)心性質(zhì)，有 EIB ABI EAB

3、ABI EAC CBI EBC EBI ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?從而 。結(jié)合 ，所以 ， EI BE ? EM BN ? MEI NBE ? ? ?于是 ，故 四點(diǎn)共圓。 EFI BFE BNE EMI ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 180 90 M I F E , , ,進(jìn)而可知 ,故 四點(diǎn)共圓。 AGM IEM IFM AFM ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 90 90 M

4、 G F A , , ,再由 知， 四點(diǎn)共圓，所以 五點(diǎn)共圓，從 0 90 ? ? ? ? DMG DAG D M G A , , , D M G F A , , , ,而 ，即 。 0 90 ? ? ? ? DAG DFG FG DF ?2018B 二、 （本題滿分 40 分）如圖所示， 在等腰 中， ，邊 上一點(diǎn) ABC ? AC AB ? AC及 延長(zhǎng)線上一點(diǎn) 滿足 ，以 為直徑的圓 與線段 交于一點(diǎn) D BC E CEBCDC

5、AD2 ? AB ? DE F。證明： 四點(diǎn)共圓。 （答題時(shí)請(qǐng)將圖畫在答卷紙上） D F C B , , ,。 IQB IBQ ? ? ?又 四點(diǎn)共圓，所以 ，于是 ， Q P I B , , , IQB IPB ? ? ? IPB IBQ ? ? ?故 ~ ，從而 ，且 , IBP ? IRB ? IBP IRB ? ? ? IBIPIRIB ?又 ，且 為 的內(nèi)心，故 ，所以 AC AB ? I ABC ? IC IB ? ICIP

6、IRIC ?所以 ~ ，則 ICP ? IRC ? ICP IRC ? ? ?又點(diǎn) 在圓 的弧 上，故 ， P 1 ? BC A BPC ? ? ? ? 21 1800因此， ICP IBP IRC IRB BRC ? ? ? ? ? ? ? ? ?BPC BIC ? ? ? ? ? 0 360，即 0 0 0 0 90 21 180 21 90 360 ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? A A C

7、R BR ?2017B 三、 （本題滿分 50 分）如圖，點(diǎn) 是銳角 的外接圓 上弧 的中點(diǎn)，直線 D ABC ? ? BC與圓 過點(diǎn) 的切線分別相交于點(diǎn) , 與 的交點(diǎn)為 ， 與 的交 DA ? C B, Q P, BQ AC X CP AB點(diǎn)為 ， 與 的交點(diǎn)為 ．求證： 平分線段 ． （答題時(shí)請(qǐng)將圖畫在答卷紙 Y BQ CP T AT XY上） ★證明： ★證明：首先證明 ，即證 // YX BC AX AYXC YB ?連接

8、，因?yàn)?， , BD CDACQ ACQ ABCABC ABP ABPS S SS S S? ? ?? ? ?? ?所以 ， ①1 1 1 sin sin sin 2 2 21 1 1 sin sin sin 2 2 2AC CQ ACQ AC BC ACB AC AQ CAQAB BC ABC AB BP ABP AB AP BAP? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?由題設(shè)， 是圓 的切線，所以 ， ，又 , BP C