非線性方程組若干數(shù)值方法研究及應(yīng)用.pdf

1、本文主要研究了求解非線性方程組的迭代方法的構(gòu)造以及本質(zhì)特征的刻劃.針對(duì)Jacobian矩陣是大型稀疏非Hermitian且正定的情況，我們提出了修正Newton-HSS方法并給出了相應(yīng)的收斂性分析.我們分別在Lipschitz條件下和H(o)lder條件下，建立了修正Newton-HSS方法的局部以及半局部收斂性定理.并且，我們也討論了收斂性的更強(qiáng)類型，我們提出了全局修正Newton-HSS算法，也給出了基礎(chǔ)的全局收斂性結(jié)果.另外，我們

2、研究改進(jìn)收斂條件以建立更好的收斂性定理.針對(duì)已有的3階Newton型方法，求兩次導(dǎo)數(shù)值的修正Newton法和求兩次函數(shù)值的修正Newton法，在弱條件（γ條件）下，我們建立了這兩種方法的半局部收斂性定理.
　　線性迭代方法HSS方法是無(wú)條件收斂的，且當(dāng)選用最優(yōu)的參數(shù)α?xí)r，HSS與共軛梯度法在收斂率上有相同的上界.基于HSS方法的這些優(yōu)點(diǎn)，Bai和Guo在文[(0)]中提出了一種求解Jacobian矩陣是大型稀疏非Hermitian

3、且正定的非線性方程組的多步迭代算法，Newton-HSS方法，即以Newton法作為外迭代求解非線性方程組，以HSS為內(nèi)迭代求解Newton方程的內(nèi)外迭代法.數(shù)值結(jié)果表明Newton-HSS方法不論是在CPU時(shí)間還是在迭代步數(shù)都勝過(guò)已有的多步迭代算法，Newton-GMRES方法、Newton-USOR方法以及Newton-GCG方法.在Newton-HSS方法的基礎(chǔ)上，我們考慮高階修正Newton法與HSS方法結(jié)合，以構(gòu)造高效的多步迭

4、代算法.我們采用一種只需求兩次函數(shù)值，但具有至少3階R收斂的修正Newton法代替Newton法作為外迭代，以無(wú)條件收斂的HSS方法作為內(nèi)迭代，從而構(gòu)造了修正Newton-HSS方法來(lái)求解大型稀疏的非線性方程組.我們所構(gòu)造的方法在迭代步數(shù)及所花費(fèi)的CPU時(shí)間都勝過(guò)Bai和Guo在文[(0)]提出的Newton-HSS方法.二維對(duì)流擴(kuò)散的數(shù)值例子表明,Newton-HSS方法所需用的外迭代步數(shù)大約為修正Newton-HSS方法的一倍，并且

5、Newton-HSS方法所用的CPU時(shí)間平均大約為修正Newton-HSS方法所用的CPU時(shí)間的1.5倍.此外，我們也給出了全局修正Newton-HSS算法.我們由修正Newton-HSS方法得到具有全局收斂性質(zhì)的修正Newton-HSS后退方法.
　　然后針對(duì)所提出的修正Newton-HSS方法，我們給出其收斂性分析，建立比較完善的收斂理論.我們首先在導(dǎo)數(shù)滿足Lipschitz條件下，給出修正Newton-HSS方法的局部收斂性

6、分析.通過(guò)條件的弱化，分別在導(dǎo)數(shù)連續(xù)和導(dǎo)數(shù)滿足H(o)lder條件下，我們建立了更好的局部收斂性定理.同時(shí)，我們也給出該方法的收斂階，我們以矩陣‖T(α;x)‖的收斂階特征描述修正Newton-HSS方法的收斂階.同樣，我們也分別在Lipschitz條件下和H(o)lder條件下建立了修正Newton-HSS方法的半局部收斂性定理，根據(jù)初始點(diǎn)周圍的信息，給出解的判別及誤差估計(jì).另外，合理的條件下，我們建立了基礎(chǔ)的全局收斂結(jié)果，即如果由迭

7、代法生成的序列有極限點(diǎn)，并且F'在該點(diǎn)可逆，則極限點(diǎn)為F的一個(gè)解，且迭代序列收斂到該點(diǎn)[(0)].
　　最后，我們研究了兩類3階Newton型方法，即計(jì)算兩次導(dǎo)數(shù)值的三階Newton型方法和計(jì)算兩次函數(shù)值的三階修正Newton方法，在α判據(jù)的弱條件下的半局部收斂性.α判據(jù)的弱條件是由Wang最初在[(0)]中導(dǎo)出.判據(jù)α不僅能用于非線性方法收斂性的判定，而且在與零點(diǎn)有關(guān)的大量數(shù)值過(guò)程中它都是一個(gè)刻畫現(xiàn)象本質(zhì)的恰當(dāng)不變量.將經(jīng)典的K