代數(shù)曲線與孤子方程的擬周期解.pdf

1、本文的主要內容是基于代數(shù)曲線理論來研究孤子方程的Riemann theta函數(shù)表示形式的擬周期解，分別研究了Hu族，耦合修正Korteweg-de Vries族，Vakhnenko方程和一族新的耦合非線性演化方程等四個可積系統(tǒng).此外，為了將該領域的研究推廣到超可積系統(tǒng)中，本文還研究了兩個超可積系統(tǒng):超向量非線性Schr（o）dinger族和超耦合導數(shù)非線性Schr(o)dinger族.
　　第二章研究了Hu族流的拉直與擬周期解的構

2、造，利用駐定情況的Lax矩陣的特征多項式構造雙葉緊致Riemann面KN，在KN上研究亞純函數(shù)的漸近展式以及因子，給出了整個方程族流的拉直公式，借助于亞純函數(shù)的表示式，給出Hu族解的Riemann theta函數(shù)表示.
　　第三章到第五章分別構造了耦合修正Korteweg-de Vries族，Vakhnenko方程和一族新的耦合非線性演化方程族的擬周期解，這三個問題共同的特點是與3×3矩陣譜問題相聯(lián)系，需要在三葉緊致Riemann

3、面上去考慮，與2×2的情況相比需要更大的計算量和更強的技巧性.利用零曲率方程導出非線性演化方程，通過駐定情況的Lax矩陣引入三葉緊致Riemann面，在其上定義Baker-Akhiezer函數(shù)及亞純函數(shù)，通過分析得到因子和漸近性質，由Riemann-Roch定理給出Baker-Akhiezer函數(shù)和亞純函數(shù)的表示式，據此表示式得到非線性演化方程的擬周期解.與此同時，每一章又有各自的特點.在第三章中，Riemann面具有三個無窮遠點，均不

4、為分支點，這種情況在三葉Riemann面的研究中很少.第四章研究的Vakhnenko方程為相應方程族負冪流中的一個約化方程，引入的Riemann面具有一個無窮遠點，為三重分支點，在分析亞純函數(shù)的漸近展式時，需要同時考慮無窮遠點和零點.第五章研究了一族新的耦合非線性演化方程族，相關的Riemann面具有兩個無窮遠點，其中一個是二重分支點，一個不是分支點，因此在局部坐標的選取以及虧格的計算上都與第三章和第四章是不同的.
　　第六章從兩