求解集值偽單調變分不等式的算法研究.pdf

1、變分不等式理論及其應用是非線性分析中的重要組成部分.它在金融、經濟、交通、最優(yōu)化、算子研究以及工程科學等領域有著廣泛的應用.其中,求解變分不等式問題是變分不等式理論研究的一個重要方向.最近幾十年,許多學者利用各種算法對變分不等式的求解問題進行了廣泛且深入的研究.Tikhonov正則化方法和鄰近點算法是兩種很重要的求解變分不等式的算法.本論文主要研究利用Tikhonov正則化方法和鄰近點算法求解偽單調集值廣義變分不等式和偽單調集值混合變分

2、不等式,分析了變分不等式的可解性及其在可解條件下兩種算法的收斂性.本文內容具體安排如下：第一章,我們主要對該領域的研究工作做簡要的回顧.此外還介紹了本文主要用到的一些基本概念和引理.第二章,設H為一實的Hilbert空間,K(？)H是一非空閉凸集,F：H→2H是偽單調映射.我們考慮如下廣義變分不等式問題,記為GVI(K,F)：找到x∈K和x*∈F(x),使得我們將此問題轉化為求解偽單調算子的零點問題.即求解集值方程0∈T(x),其中T：

3、H→2H是偽單調映射,表示成T(x)= F(x)+NK(x).本章中,我們利用了兩種廣義鄰近點算法對偽單調算子T的零點問題加以研究,從而得到GVI(K,F)的解集.目前尚未發(fā)現有文獻利用這兩種算法對偽單調算子的零點問題加以研究過.本章利用的算法和所得的主要結論如下：算法2.1.1步一.取z0∈H為初始值；步二.對于給定的zx,(1-γk)∈[γ,∞)(γ>；0)和ck∈[c,+∞)(c>；0),求zk+1,ek滿足其中ek表示誤

4、差,滿足其中定理2.2.1序列{zk}由算法2.1.1迭代生成.p∈S其中S為T的所有零點所組成的集合,并且△=suPk≥0(1-γk)≤2.則{zk}弱收斂到T的一個零點.算法2.1.2步一.取z0∈H為初始值；步二.對于給定的zk,γk∈(0,1)和ck∈[c,+∞)(c>；0),求zk+1,ek滿足其中ek表示誤差,滿足定理2.3.1序列{zk}由算法2.1.2迭代生成,假設其中S為T的所有零點所組成的集合.則{zk}弱收斂到

5、S中的一點.第三章,我們在一實的Hilbert空間中,利用Tikhonov正則化方法(TRM)和鄰近點算法(PPA)去研究集值偽單調混合變分不等式(簡記為MVI(K,F,(？)))：設H為一實的Hilbert空間,K(？)H是一非空閉凸集,找向量使得其中φ為凸函數,F相對φ偽單調,在文[33]中利用TRM和PPA研究了偽單調廣義變分不等式,建立了可解條件并且分析了算法的收斂性,最后對用鄰近點算法求解偽單調混合變分不等式做出一些評論但沒有

6、給出收斂性定理.我們參考了該文的結論,利用TRM和PPA對偽單調混合變分不等式進行了研究,建立了可解條件并得到算法的收斂性定理.本章的算法和主要結論如下：算法3.1.1步一.給定正實數列滿足εk→0,k→∞,解變分不等式步二.若(？)x(εk+1)-x(εk)(？)≤θ(θ為一常數),停止；步三.令k=k+1轉入步一.定理3.3.1假設F：K→2H相對于φ偽單調且在K上上半連續(xù).若解集s(K,F,φ)非空且x為解集中范數最小的元素,則有

7、下面的結論：(i)對(？)ε>；0,若Fε相對于φ在K上偽單調,那么S(K,Fε,φ)非空；(ii)對(？)ε>；0,集合S(K,Fε,φ)一致有界,并且有(iii)若F在K上上半連續(xù),序列{x(ε)}中任何弱收斂子列弱收斂到x.定理3.3.2假設K(？)Rn為非空閉凸集,F：K→+2Rn相對于φ偽單調且在K上上半連續(xù),若MVI(K,F,φ)有解,則(i)(？)ε>；0,若Fε相對于φ偽單調,有S(K,Fε,(？))非空且緊

8、；(ii)序列{x(εk)}收斂到S(K,F,φ)中范數最小的那個元素,其中x(ε)為S(K,Fε,φ)中的任一向量；(iii)limε→0+diam S(K,Fε,(？))=0,diamΩ：=sup{(？)x-y(？)：x∈Ω,y∈Ω}表示集合Ω∈Rn的直徑.定理3.3.3假設F：K→2H是單調且相對于φ偽單調,并且在K上上半連續(xù),若S(K,Fφ)非空助是其中范數最小的元素,則當Fε相對于φ偽單調時,{x(ε)}收斂于x,ε→0+,其

9、中x(ε)表示解集S(K,Fε,φ)中唯一的元素.算法3.1.2步一.取x0∈H為初始值；步二.對于給定的xk-1和{βk}k∈N,βk≥β>；0其中β為常數,找出向量xk∈K和xk*∈Fk(x),Fk(x)=βkF(x)+x-xk-1,x∈K滿足步三.若‖xk-xk-1‖≤θ(θ為一常數),停止；步四.令k=k+1轉入步二.算法3.1.3步一.取z0=x0∈H為初始值；步二.對于給定的向量zk-1和序列{βk)k∈N,βk≥β&g

10、t；0其中β為常數.序列{εk}k∈N}滿足εk≥0且找到向量zk∈K滿足其中(？)(k)(x)=βkF(x)+x-zk-1,S(K,(？)(k),βk(？))表示變分不等式<；βkx*+x-zk-1,y-x>；+ (？)(y)-(？)(x)≥0,(？)y∈H的解集.dist(zk,S(K,(？)(k),βk(？)))表示zk與解集S(K,(？)(k),βk(？))之間的距離；步三.若(？)zk-zk-1(？)≤θ(θ為一常數)