時-空分數階擴散方程的快速算法以及MT-TSCR-FDE的快速數值解法.pdf

1、如今分數階微積分已成為流行在社會科學與工程的重要工具。特別是時空分數階擴散方程正越來越多地應用于研究許多領域的反常擴散現象。由于分數階導數的非局部性，其數值求解會生成滿系數矩陣，并且此矩陣的求解需要消耗大量的計算成本及存儲量。所以我們展開研究快速數值方法來解決這一問題。
　　本研究第一步給出時-空分數階雙邊擴散方程的一般形式:(e)βu(x,t)/(e)tβ=d+(x,t)(e)αu(x,t)/(e)+xα+d-（x，t)(e)α

2、u(x,t)/(e)_xα+f（x，t)，0≤t≤T，xL≤x≤xR，u(x,0)=u0(x),xL≤x≤xR,u(xL,t)=0,u(xR，t)=0,0≤t≤T。對于時間分數階，我們采用Caputo分數階導數;對于空間分數階，采用左和右的Riemann-Liouville空間分數階導數，并利用修正的Grunwald-Letnikov近似。給出相應的有限差分格式及矩陣格式。第二步有限差分格式的滿系數矩陣，它可以分解成Toeplitz矩陣

3、與向量乘積之和。根據Toeplitz矩陣與循環(huán)矩陣的關系，以及循環(huán)矩陣的性質，提出用傅里葉變換法求解矩陣向量的乘積，開發(fā)一個基于快速傅里葉變換(FFT)的快速解決方案。第三步基于FFT的快速解決方案，我們開發(fā)了兩種快速數值方法:一種是O(N log N)的最小剩余共軛梯度平方快速迭代方法，一種是O(N log2 N)的快速有限差分法。與常規(guī)有限差分法相比能夠極大地減少計算成本和存儲空間，同時保持相同的精度。第四步對于多項分數階時-空Ca

4、puto-Riesz方程(MT-TSCR-FDE)，P(Dt)u(x，t)=p(x)Rβx+q(x)Rγx-h(x)u（x，t)+F(x，t)。首先利用預估-校正法對此多項分數階方程進行數值逼近，然后應用上面提出的方法和步驟，分析研究數值求解的快速方法，以極大地減少計算成本和存儲空間。第五步：數值實驗。分別針對時-空Caputo-Riesz分數階擴散方程，一個有解析解的時-空分數階擴散方程，以及最后的MT-TSCR-FDE給出實例數值模