幾類高階差分系統周期解的存在性.pdf

1、微分方程、差分方程作為現代數學的一個重要分支，廣泛應用于計算機科學、經濟學、神經網絡、生態(tài)學及控制論等學科領域中，因此對微分方程、差分方程解的性態(tài)的研究不僅有著重要的理論意義，而且具有重要的實用價值.幾十年來，許多學者對微分方程周期解的存在性與多重性應用不同的方法進行了深入廣泛的研究，這些方法主要有臨界點理論(包括極小極大理論、幾何指標理論與Morse理論)、不動點理論、重合度理論、Kaplan-Yorke藕合系統法等.在這些方法中，臨

2、界點理論已成為處理這類問題的強有力的工具.但是應用臨界點理論研究差分方程周期解的存在性的文獻很少，其主要原因在于難以找到適當的變分結構.本博士論文應用臨界點理論研究了幾類高階差分系統的周期解的存在性和一類橢圓系統的解的存在性，得到了一系列全新的結果，主要內容如下： 首先，簡要介紹了變分法的歷史，回顧了與所研究問題相關的橢圓方程、哈密爾頓系統的歷史背景與發(fā)展現狀，并對本文的工作進行了簡要的陳述. 其次，構建了幾類新的高階差

3、分系統(或方程)模型，并通過構建恰當的變分結構，將兩類高階差分系統(或方程)的周期解和一類橢圓系統的解的存在性問題轉化為適當函數空間上對應泛函的臨界點的存在性問題，拓展了原有的二階差分方程(或系統)模型. 在第二章中，我們討論了一類高階差分系統. 首先，利用Morse理論結合臨界群的計算等方法研究了高階差分系統在非線性項是漸近線性的和超線性的兩種情形，得出以下結論：當非線性項在無窮遠處是漸近線性時，如果變分泛函在無窮遠處

4、的Morse指標和原點處的Morse指標不同，則系統在共振和非共振兩種狀態(tài)下都存在非平凡周期解.當非線性項在無窮遠處是超線性時，系統至少存在三個不同的周期解. 然后，分別利用環(huán)繞定理、對稱山路引理得到了該高階差分系統存在多個和無窮多個非平凡周期解的結論，部分結果推廣了已有文獻的結論.再利用Morse理論結合Lyapunov-schmidt約化方法、三臨界點定理研究該高階差分系統，將原有的對微分方程的研究方法推廣到差分方程，并獲得

5、了該高階差分系統多個和無窮多個非平凡周期解的存在條件. 在第三章中，我們利用環(huán)繞定理研究一類高階泛函差分方程的周期解的存在性，得到了該方程至少存在一個非平凡周期解的若干充分條件. 在第四章中，我們考慮一類高階差分方程.在非線性項是共振的情形，我們利用臨界點理論中的局部環(huán)繞及無窮遠處的角條件獲得了該高階差分方程多個非平凡周期解的存在條件. 在第五章中，我們結合疇數理論，利用推廣的山路引理研究了一種橢圓系統的解的存在