曲線、曲面μ基的計(jì)算及其應(yīng)用.pdf

1、參數(shù)形式和隱式形式是表示曲線和曲面的兩種主要方式，它們?cè)谟?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)以及機(jī)械、建筑乃至動(dòng)畫等眾多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。這兩種表示方式有各自的優(yōu)點(diǎn)和不足之處，在幾何造型領(lǐng)域中，人們通常會(huì)根據(jù)具體的問題選擇其中一個(gè)表示方式，因而曲線/曲面兩種不同表示形式之間的相互轉(zhuǎn)換成為人們所關(guān)心的問題，即參數(shù)表示隱式化和隱式表示參數(shù)化問題。在理論上已經(jīng)證明了任何參數(shù)表示的曲線/曲面都一定可以轉(zhuǎn)化為隱式表示。曲線/曲面隱式化的主要方法有

2、結(jié)式方法、Grobner基方法、吳方法、插值方法等。但這些方法在有效性、通用性、復(fù)雜度等方面都有各自的問題。近年來提出的一種嶄新的動(dòng)曲線/曲面隱式化方法以及從它發(fā)展起來的μ基理論顯示出了相當(dāng)?shù)膬?yōu)越性。從曲線/曲面的μ基出發(fā)，我們可以方便地得到原曲線/曲面的參數(shù)表示，也可以得到曲線/曲面的隱式表示，即μ基構(gòu)建了曲線/曲面的參數(shù)方程和隱式方程之間的聯(lián)接橋梁。 本文目的是在已有研究成果的基礎(chǔ)上，以迅速發(fā)展的計(jì)算代數(shù)幾何為研究工具，對(duì)動(dòng)

3、曲線/曲面方法以及μ基理論展開研究工作，特別是致力于構(gòu)造計(jì)算μ基的快速通用的算法。 我們首先回顧了曲線/曲面設(shè)計(jì)的歷史和研究方向，重點(diǎn)介紹了曲線/曲面參數(shù)化和隱式化的一些工作。在隱式化方法中我們介紹了動(dòng)曲線/曲面方法和μ基方法并系統(tǒng)地給出μ基的定義和性質(zhì)。平面曲線和直紋面μ基理論相對(duì)完善，也有相應(yīng)的算法。 在第三章中，我們根據(jù)多項(xiàng)式矩陣分解的理論給出了曲線/曲面μ基存在性的一個(gè)構(gòu)造性證明，并首次設(shè)計(jì)了適合一般曲線/曲面的

4、μ基算法。新算法的本質(zhì)是計(jì)算曲線/曲面的Syzygy模的基，因而不僅可以計(jì)算動(dòng)直線/動(dòng)平面模的基，也可以計(jì)算動(dòng)曲線/動(dòng)曲面模的基。該算法不但能夠計(jì)算一般曲面的μ基，在計(jì)算曲線的μ基時(shí)也比已有的算法效率更高。 在第四章中我們研究了空間參數(shù)曲線的μ基及其性質(zhì)。根據(jù)多項(xiàng)式矩陣分解方法，我們給出了三維空間參數(shù)曲線的動(dòng)平面模基的通用表示形式，進(jìn)而得到曲線的μ基?？臻g曲線的隱式化要比平面曲線隱式化復(fù)雜得多，也更有應(yīng)用價(jià)值。針對(duì)一類三維空間曲

5、線，我們得到了簡(jiǎn)潔的隱式化方法。進(jìn)一步我們還設(shè)計(jì)了一些特別的算例，這些算例將有助于一般隱式化方法的設(shè)計(jì)。 雖然我們?cè)O(shè)計(jì)了一般曲線/曲面的μ基算法，但是算法中涉及多項(xiàng)式矩陣的運(yùn)算，因而有時(shí)計(jì)算效率不高。在用μ基方法進(jìn)行曲面隱式化時(shí)，目前的算法還需要計(jì)算Grobner基，導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜度過高。本文第五章從低次曲面開始，深入分析了具有兩個(gè)基點(diǎn)的二次曲面和具有六個(gè)基點(diǎn)的非奇異三次曲面的μ基形式。我們得到了這兩種曲面的μ基的一些良好性質(zhì)，并

6、且設(shè)計(jì)了更為直接且快速有效的μ基算法。利用μ基可以直接表示出這兩種曲面的隱式化方程。進(jìn)一步，我們從隱式曲面出發(fā)構(gòu)造了曲面的μ基，由此得到了隱式曲面參數(shù)化表示。實(shí)現(xiàn)了從參數(shù)曲面到μ基再到隱式曲面的雙向轉(zhuǎn)化。 有理曲線/曲面的降階問題是近二十年來人們關(guān)注的另一個(gè)熱點(diǎn)問題，目前的降階方法主要集中在插值或一致逼近下Bézier曲線/曲面的降階。本文最后一章利用近似μ基實(shí)現(xiàn)了曲線/曲面的降階，主要是通過優(yōu)化方法得到曲線/曲面的近似μ基，然