分擔一個或兩個小函數的整函數及其導數的唯一性.pdf

1、二十世紀二十年代，芬蘭數學家R.Nevanlinna引進亞純函數的特征函數，建立了Nevanlinna理論，是二十世紀最重大的數學成就之一，這不僅因為它奠定了現代亞純函數理論的基礎，而且對數學許多分支的發(fā)展，交叉和融合產生了重大而深遠的影響。半個多世紀以來，Nevanlinna理論研究在不斷發(fā)展，而且在復微分方程振蕩理論，亞純函數唯一性理論研究等方面有著廣泛的應用。特別是在復域中常微分方程大范圍解析解的研究中(參看[15])，Nevan

2、linna理論的成功介入，不但為之提供了十分重要的研究工具，而且使得這一學科的發(fā)展充滿了生機。而在亞純函數唯一性理論研究方面，1929年，R.Nevanlinna(參看[20])利用他剛建立不久的亞純函數值分布理論，研究了決定一個亞純函數所需要的條件，得到了兩個著名的亞純函數唯一性定理，它們通常被稱為Nevanlinna五值定理和Nevanlinna四值定理。從此，亞純函數唯一性理論，特別是涉及公共值的亞純函數唯一性的研究拉開啟了發(fā)端。

3、 半個多世紀以來，日本，中國，德國，英國，前蘇聯和美國的許多數學家都曾致力于亞純函數唯一性理論的研究，使之稱為復分析領域至今仍比較活躍的一個重要分支；期間所形成的獨特的思想方法與研究技巧，為其它數學分支，如代數體函數，Non-Archimedean域上的亞純函數，乃至一般流形上的亞純映射的唯一性及相關問題的研究，提供了十分重要的啟示與借鑒。 近二十年來，儀洪勛教授在亞純函數唯一性理論的研究中，獨樹一幟。他在這一領域所做的

4、原創(chuàng)性工作(參看[2][25])，吸引了國內外學者，數學家，甚至著名數學家的研究興趣，從而有力地推動了亞純函數唯一性理論的發(fā)展，也為中國在這一領域的國際地位做出了重要貢獻.李效敏教授在亞純函數唯一性理論研究中比較活躍，作了許多研究工作，得到了國內外同行的關注。不僅如此，他還在復微分方程和亞純函數正規(guī)族的研究中得到不少突出的結果，例如他在Brück猜想和Gundersen問題等方面作了許多研究工作。 本文介紹作者在李效敏教授的精心

5、指導下所完成的一些研究工作。全文共分三章： 第一章，主要介紹與本文有關的Nevanlinna基礎理論中的主要概念，常用記號及經典結果。 對整函數與其導數具有公共值的唯一性問題的研究，由L.A.Rubel和C.C.Yang首開先河。爾后,國外著名的復分析專家，如E.Mues，G.Frank，N.Steinmetz，G.G.Gundersen，G.Jank，L.Volkamn等人以及一些中國學者，分別從不同的角度將這一課題的

6、研究不斷引向深入。至今，仍有一些問題尚未解決。不僅如此，1992年，W.Schwick(參看[24])發(fā)現，整函數的正規(guī)性和該函數族中的函數與其導數是否具有公共值這一性質，有著十分緊密的聯系.由于正規(guī)族理論在復動力系統(tǒng)的研究中的特殊地位，他的這一發(fā)現立即吸引了國內外許多學者的注意，這無疑使函數公共值問題的研究更具有活力，也更有意義。 在本文的第二章，我們主要研究整函數及其k階導數分擔一個公共小整函數的唯一性問題，兩個主要結果改進

7、了Bruck和楊連中等人的結果。下面是主要定理: 定理1:設f是微分方程f(k)-eαf=0的非常數解，超階v(f)<∞，令k是一個正整數，則α是一個多項式且v(f)=γα，其中γα表示的α次數。 定理2:設Q(z)是一個非常數的多項式，k是一個正整數。如果f是微分方程f(k)-α=(f-α)eQ(z)的解，其中α(不恒等于∞)是廠的小整函數滿足σ(α)<γQ，γQ表示Q(z)的次數，則v(f)=γQ且f是一個無窮階的整