15數(shù)論1981-2018年歷年數(shù)學(xué)聯(lián)賽48套真題分類匯編含詳細(xì)答案

1、1981年~2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試試題分類匯編2、數(shù)論部分2018A四、（本題滿分50分）數(shù)列定義如下：是任意正整數(shù)，對整數(shù)，與??na1a1?n1?na互素，且不等于的最小正整數(shù)，證明：每個正整數(shù)均在數(shù)列中出??niia1naaa.21???na現(xiàn)?！镒C明：★證明：顯然或者.下面考慮整數(shù)，設(shè)有個不同的素因子，我們對11?a12?a1?mmkk歸納證明在中出現(xiàn).記，.m??nannaaaS?????211?n時，是素數(shù)方冪，記，

2、其中，是素數(shù).假設(shè)不在中出現(xiàn).由1?km?pm?0??pm??na于各項互不相同，因此存在正整數(shù)，當(dāng)時，都有.若對某個，??naNNn??pan?Nn?，那么與互素，又中無一項是，故有數(shù)列定義知nSp|??pnSnaaa.21??p?pan??1，但是，矛盾！?pan??1因此對每個，都有.又，可得，從而與不互素，這與Nn?nSp|1|?nSp1|?nap1?nanS的定義矛盾！1?na假設(shè)，且結(jié)論對成立.設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)分解為.假設(shè)不在中2?

3、k1?kmkkpppm????2121?m??na出現(xiàn)，于是存在正整數(shù)，當(dāng)時，都有.取充分大的正整數(shù)，NNn?man?121?k????使得.nNnkapppMk1211121max??????????我們證明，對，有.Nn?Man??1對于任意，若與互素，則與互素，又在中均未Nn?nSkppp?21mnSmnaaa.21?出現(xiàn)，而，這與數(shù)列的定義矛盾，因此我們得到：對于任意，與man??1Nn?nS不互素，kppp?21?2017A4

4、、若一個三位數(shù)中任意兩個相鄰數(shù)碼的差均不超過，則稱其為“平穩(wěn)數(shù)”，則平穩(wěn)1數(shù)的個數(shù)是◆答案：◆答案：75★解析：★解析：考慮平穩(wěn)數(shù)。abc①若，則，，有個平穩(wěn)數(shù)；0?b1?a??10?c2②若，則，，有個平穩(wěn)數(shù)；1?b??21?a??210?c632??③若，則，，有個平穩(wěn)數(shù)；??82?ba??11???bbbc63337???④若，則，有個平穩(wěn)數(shù)；9?b??98?ca422??綜上可知，平穩(wěn)數(shù)的個數(shù)為。7546362????2017B

5、8、若正整數(shù)滿足，則數(shù)組的個數(shù)為cbacba1000100102017???)(cba◆答案：◆答案：574★解析：★解析：由條件知，當(dāng)時，有，對于每個這樣的正整數(shù)2017[]21000c??1c?1020b??b，由知，相應(yīng)的的個數(shù)為，從而這樣的正整數(shù)組的個數(shù)為10201ba??a20210b?，2010(1022)11(20210)5722bb???????當(dāng)時，由，知，，進(jìn)而，2c?201720[]100b??20b?201720