關于二元多項式同余方程解的個數問題.pdf

1、令f(x)=xd+a1xd-1+…+ad，a1，…，ad∈Z，d≥2，是一個不可約多項式.令Nf(n)為f(x)≡0(modn)滿足0≤x＜n的解的個數.研究函數Nf(n)一直以來都是一個很重要的問題。
　　 早在1952年，數學家Erd(o)s就對這個問題做了研究，得出了兩個漸近公式.近年來，國內外數學家對同余方程解的個數問題做了大量研究.Fomenko，Kim，呂廣世對一元多項式同余方程解的個數問題做了深入研究，得到了很好的

2、結果.
　　 1999年，Daniel在考慮二元多項式除數個數問題時得到了二元多項式同余方程解的個數估計.本文就這個問題做了進一步研究，改進了以往的估計結果，并將其結果推廣到高次均值情形。
　　 本文主要分為三個部分，第一部分系統(tǒng)地介紹了本課題的研究背景，給出了本文的研究結果:
　　 設f(x1，x2)是一個二元k（k≥2）次整系數不可約多項式，令(p)（a）:=＃{(x1，x2)∈(Z)2:1≤x1，x2≤a，

3、f(x1，x2)≡0（moda）}，(p)*（a）:=＃{(x1，x2)∈(0，a]2:(x1，x2，a)=1，f(x1，x2)≡0（moda）}。
　　 定理1.1對任意k次阿貝爾二元多項式f(x1，x2)，我們有∑a≤Q(p)*(a)/(ψ)(a)={C(f)Q+O(Q1/2+ε)，k=2,3,C(f)Q+O（Q1-3/(k+2)+ε），4≤k≤11，C(f)Q+O(Q1-3/k+ε)，k≥12，其中C(f)是(3.1.4)

4、中的定義。
　　 定理1.2對任意k（k≥9）次非阿貝爾二元多項式f(x1，x2)，我們有∑a≤Q(p)*(a)/(ψ)(a)=C(f)Q+O(Q1-3/(k+6)+ε），其中C(f)是(3.2.2)中的定義。
　　 定理1.3對于任意的l≥2，我們有∑a≤Q((p)*(a)/(ψ)(a))l=QPm(logQ)+O(Q1-3/(mk+6)+ε)，其中P(logQ)是(3.3.5)中的定義，m=kl-1。
　　

5、定理1.4對于任意的l≥2，我們有∑a≤Q((p)(a)/a)l=QP'm(logQ)+O(Q1-3/(3k+km)+ε），其中P'm(logQ)是(3.4.3)中的定義，m=kl-1。
　　 第二部分介紹了為了證明本文的結果需要用到的預備知識，包括解析數論中的關于(ζ)(s)，L（s,x）的各次積分均值估計，代數數論中的Dedekindzeta函數的性質，還有Gabriel凸定理和PhragménLindel(o)f定理，以及