分數(shù)階偏微分方程的解析和數(shù)值方法及其參數(shù)估計問題.pdf

1、作為一種新穎的數(shù)學工具，分數(shù)階微積分建模方法和理論被廣泛應用于物理、化學、生物、醫(yī)學、金融、控制工程等諸多領域?；诜謹?shù)階微分算子所具有的記憶、遺傳特性，分數(shù)階導數(shù)模型在刻畫物理力學過程中涉及記憶和遺傳、路徑依賴、全局相關和自相似性等的反?，F(xiàn)象中體現(xiàn)了其優(yōu)越性。隨著分數(shù)階微積分的逐漸發(fā)展，分數(shù)階相關文章正在呈現(xiàn)出“井噴式”的增長態(tài)勢。已有眾多學者致力于研究分數(shù)階偏微分方程的解析和數(shù)值方法。基于分數(shù)階微積分在實際問題中的廣泛應用，分數(shù)階導

2、數(shù)模型的參數(shù)估計問題逐漸發(fā)展成為近年來新興的一個研究熱點。關于整數(shù)階模型的參數(shù)估計問題的研究已經(jīng)相對成熟，然而在分數(shù)階領域，對于分數(shù)階本構模型中參數(shù)的研究，人們大多是通過曲線擬合的方法得到的，而缺乏具體可行的適用于分數(shù)階導數(shù)模型的參數(shù)反演方法。因此，本文主要研究分數(shù)階偏微分方程的解析和數(shù)值方法及其參數(shù)估計問題。
　　本文中針對不同的分數(shù)階導數(shù)模型，分別研究了正問題的求解方法，以及分數(shù)階模型的參數(shù)估計問題。首先，針對不規(guī)則凸區(qū)域上的

3、二維時空分數(shù)階波動方程，提出了新穎的不規(guī)則網(wǎng)格有限元算法，并證明了格式的穩(wěn)定性和收斂性。其次，推導了帶有分數(shù)階熱流條件的一維時間分數(shù)階熱波方程，利用積分變換方法給出了模型的解析解，并利用最小二乘算法估計了分數(shù)階階數(shù)和熱松弛時間，為分數(shù)階反問題提供了具體的參數(shù)估計方法。第三，基于廣義分數(shù)階單元網(wǎng)絡Zener模型，率先提出了利用貝葉斯方法研究分數(shù)階模型的參數(shù)估計問題，并證明了貝葉斯方法的穩(wěn)定性和收斂性，為分數(shù)階反問題提供了高效、具體的參數(shù)估

4、計方法。第四，針對多孔介質中的分數(shù)階分形擴散模型，利用有限差分方法求得了模型的數(shù)值解，并將貝葉斯方法應用于實際問題，基于甲烷在碳介質中的快速解吸附實驗數(shù)據(jù)驗證了貝葉斯方法的有效性。最后，將時間分數(shù)階模型推廣到了多項的情形，利用修正的分數(shù)階預估校正算法得到了正問題的數(shù)值解，并給出了另一種有效的適用于分數(shù)階反問題的參數(shù)估計方法，即復合Nelder-Mead單純形和粒子群優(yōu)化算法。具體地:
　　第一章，我們首先簡要介紹分數(shù)階微積分的產生

5、及發(fā)展歷程，并給出本文中用到的幾種分數(shù)階導數(shù)定義形式。然后，簡單的概述本文的主要研究內容。
　　第二章，針對定義在不規(guī)則凸區(qū)域上的二維時-空分數(shù)階波動方程，我們提出一種新穎的不規(guī)則凸區(qū)域上的不規(guī)則網(wǎng)格有限元算法。在時間上，利用Crank-Nicolson格式離散Caputo時間分數(shù)階導數(shù)，而在空間上，利用了一種基于不規(guī)則網(wǎng)格剖分的Galerkin有限元算法。本章中建立了不規(guī)則網(wǎng)格Crank-NicolsonGalerkin數(shù)值格式

6、的穩(wěn)定性和收斂性分析，并給出了詳細的數(shù)值實現(xiàn)過程。數(shù)值算例表明本章中所提出的不規(guī)則網(wǎng)格有限元方法在求解不規(guī)則凸區(qū)域上的二維時-空分數(shù)階波動方程問題中是有效的。此外，文中對比了規(guī)則網(wǎng)格剖分和不規(guī)則網(wǎng)格剖分在數(shù)值格式的實現(xiàn)上的異同，結果表明不規(guī)則網(wǎng)格剖分在數(shù)值實現(xiàn)上需要更大的計算量，但格式所產生的誤差更小。鑒于實際問題中的研究區(qū)域大多趨于不規(guī)則性，如人類的心臟和大腦，而不規(guī)則區(qū)域很難用規(guī)則的網(wǎng)格剖分很好的近似，因此，研究不規(guī)則凸區(qū)域上基于不

7、規(guī)則網(wǎng)格剖分的有限元方法具有顯著的實際意義。
　　第三章，我們研究Caputo導數(shù)定義下帶有分數(shù)階熱流條件的一維時間分數(shù)階熱波方程及其參數(shù)估計問題。根據(jù)分數(shù)階Cattaneo方程理論，我們首先推導了帶有分數(shù)階熱流條件的時間分數(shù)階熱波模型，并利用分數(shù)階Laplace變換、有限Fourier余弦變換等方法給出了正問題的解析解。然后，利用通過求解正問題獲得的真實溫度場和隨機誤差合成仿真實驗數(shù)據(jù)，即介質內部溫度的測量值。在此基礎上，我們提

8、出利用最小二乘方法研究分數(shù)階階數(shù)α和熱松弛時間Τ的兩參數(shù)估計問題。最后，對不同的熱流分布函數(shù)所構成的兩個初邊值問題分別進行數(shù)值實驗。數(shù)值算例結果表明最小二乘算法在求解時間分數(shù)階熱波方程的兩參數(shù)估計問題中是有效的.
　　第四章，針對粘彈性材料的分數(shù)階本構方程，我們率先提出利用基于統(tǒng)計原理的貝葉斯方法研究分數(shù)階模型的參數(shù)估計問題?；诿枋稣硰椥圆牧险硰椞匦缘膹V義分數(shù)階單元網(wǎng)絡Zener模型，在模型解析解的基礎上，我們率先將貝葉斯方法應

9、用于分數(shù)階模型的參數(shù)估計問題中，同時估計了模型中的四個未知參數(shù)（α，β，λ，(Τ)）。然后，我們給出數(shù)值算例驗證了貝葉斯方法在分數(shù)階模型的參數(shù)估計問題中的有效性和可行性。實驗結果表明，基于貝葉斯方法所得參數(shù)估計值的模型模擬結果很好的擬合了粘彈性材料的實驗測量數(shù)據(jù)，證明了貝葉斯方法在分數(shù)階參數(shù)估計問題中的有效性，同時說明了廣義分數(shù)階單元網(wǎng)絡Zener模型在刻畫粘彈性材料的粘彈特性方面是可行的。該研究為分數(shù)階本構模型的參數(shù)估計問題提供了具體

10、、可行而有效的參數(shù)反演方法。
　　第五章，針對多孔介質中的反常擴散現(xiàn)象，我們研究了分數(shù)階分形擴散模型的數(shù)值求解方法及其參數(shù)估計問題。首先，利用中心盒式差分算法給出了分數(shù)階分形擴散模型初邊值問題的數(shù)值解。然后，在正問題的基礎上，我們利用貝葉斯方法同時估計了模型中的三個參數(shù)，即分數(shù)階階數(shù)α、分形維數(shù)df、結構參數(shù)θ。最后，利用甲烷在碳介質中的快速解吸附實驗數(shù)據(jù)驗證了本章中所用方法的有效性。數(shù)值結果表明，基于貝葉斯方法所得參數(shù)估計值的分

11、數(shù)階分形擴散模型很好的擬合了甲烷的快速解吸附實驗數(shù)據(jù)，證明了貝葉斯方法在分數(shù)階分數(shù)擴散模型的參數(shù)估計問題中是有效的。同時，通過對比經(jīng)典的Fick模型與分數(shù)階分形擴散模型，可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)典的Fick模型在描述甲烷的反常擴散行為中是失效的，而分數(shù)階分形擴散模型能夠很好的刻畫這一多孔介質中的反常擴散現(xiàn)象。此外，為了說明參數(shù)對模型的影響，文中分別分析了參數(shù)α、df、θ的敏感性。結果表明，三個參數(shù)α、df、θ均顯著影響著分數(shù)階分形擴散模型的模型擬合

12、效果，尤其在實驗的初始階段。本研究為描述多孔介質中反常擴散現(xiàn)象的分數(shù)階分形擴散模型的參數(shù)估計問題提供了具體、有效的參數(shù)反演方法。
　　第六章，我們研究Caputo導數(shù)定義下的多項時間分數(shù)階微分方程及其參數(shù)估計問題。首先，利用修正的分數(shù)階預估校正算法得到正問題的數(shù)值解。然后，利用復合Nelder-Mead單純形和粒子群優(yōu)化算法研究相應的參數(shù)估計問題。最后給出數(shù)值算例，基于粘彈性材料的實驗數(shù)據(jù)，驗證本章中所用方法在求解多項時間分數(shù)階微

13、分方程參數(shù)估計問題中的有效性。鑒于實際問題中實驗測量時間較長，在參數(shù)估計問題中，文中只取初始階段的一部分實驗數(shù)據(jù)用于估計模型中的未知參數(shù)，繼而考察所得參數(shù)估計值是否適用于整個實驗過程的所有數(shù)據(jù)。實驗結果表明，只用初始階段數(shù)據(jù)所得的參數(shù)估計值同時適用于整個實驗過程的所有數(shù)據(jù)，證明了分數(shù)階數(shù)學模型在刻畫材料的真實物理力學現(xiàn)象及預測未來發(fā)展趨勢中的有效性，同時說明了本章中所用數(shù)值求解方法和參數(shù)反演方法的可行性。
　　第七章，給出本文的總