量子光學中算符編序理論進展及其應用.pdf

1、在量子力學、量子光學與量子場論中物理可觀察量用厄米算符來表示的，它們之間一般來說是不對易的，人們總是面臨著算符排序問題，所以這成了人們感興趣的研究課題之一。算符的排序不同，它們對應的經典函數(shù)也不同，這是量子相空間理論基礎。常見的算符排序形式有正規(guī)乘積、反正規(guī)乘積與Weyl編序。當一密度算符排成正規(guī)乘積后，它的相干態(tài)矩陣元與Q函數(shù)就立刻得到；而一旦知道它的反正規(guī)乘積，就便知道相應P函數(shù)。尤其，算符Weyl編序對路徑積分理論和量子統(tǒng)計特別有

2、用，一旦知道它的Weyl編序形式就知道Weyl經典對應。它具有一個特殊的性質，即Weyl編序在相似變換下具有有序不變性，這為實際的運算帶來很大的方便。目前，在現(xiàn)有文獻中主要有兩種方法解決算符排序問題：李代數(shù)方法與相干態(tài)表象微分操作方法。但是這兩種方法不適用于一些復雜算符排序。本文利用范洪義教授所提出的有序算符內的積分技術(簡稱為IWOP技術)來處理算符排序問題。IWOP技術就是將原本只適用于可對易函數(shù)的牛頓-萊布尼茲積分推廣到對量子力學

3、Dirac符號法ket-bra積分型非對易量子算符的運算，從而建立了聯(lián)系q數(shù)與c數(shù)的一座橋梁。在本文中算符編序理論的發(fā)展主要體現(xiàn)以下四個方面：1)利用導出的新表象并結合IWOP技術導出新的算符恒等式，如糾纏態(tài)表象、坐標。動量中介表象、糾纏相干態(tài)表象等。2)利用IWOP技術發(fā)展量子相空間的新積分變換，并用來導出其它一些復雜算符函數(shù)的Wleyl編序形式，如坐標、動量算符函數(shù)、動量-坐標算符函數(shù)以及多模組合算符函數(shù)等。3)基于算符恒等式與IW

4、OP技術簡捷地導出很多新的積分公式，而不需要真正進行積分運算。另外，不同的算符編序方案對同一個積分的結果表現(xiàn)形式不同，它們之間的相互轉換直接導出新的積分公式。4)將IWOP技術發(fā)展到算符s編序內的積分技術(簡稱為IWSOP技術)，導出了任意密度算符的s-編序展開公式，同時也導出了帶s-參數(shù)的新算符公式。這些不僅進一步發(fā)展與完善了算符編序理論，也豐富了Dirac的符號法和變換理論，對量子光學中非經典態(tài)的研究十分有用。其具體內容包括：

5、>　　 一、分別介紹了正規(guī)乘積內積分技術與反正規(guī)乘積內積分技術，并用IWOP技術重新審視量子力學基本表象，從數(shù)理統(tǒng)計中的正態(tài)分布可以更加直捷地導出原有的表象以及給出了一些多模指數(shù)算符的正規(guī)乘積與反正規(guī)乘積展開形式。這些都展示了IWOP技術給出經典變換過渡到量子幺正變換算符的捷徑，可以發(fā)現(xiàn)很多新的幺正算符，找到很多新的有用的量子力學表象。也介紹了Weyl編序內的積分技術、任意算符的Weyl編序展開公式以及Weyl編序在相似變換下的有序不

6、變性。
　　 二、根據(jù)量子相空間的積分變換(范氏變換)，推廣到糾纏Wigner算符的新積分變換。它有良好的變換特性，具有可逆保跡性。利用該積分變換導出了一些復雜算符的Weyl編序形式。這不僅發(fā)展了變換理論，而且豐富了量子相空間理論。
　　 三、基于Hermite多項式(單變量與雙變量)的產生函數(shù)直接導出算符恒等式，并根據(jù)這些算符等式易導出有關Hermite多項式的遞推公式與一些復雜的算符等式。結合IWOP技術與量子力學表

7、象的完備性導出若干新的數(shù)學積分公式，而不需要真正進行積分運算。另外，交替使用正規(guī)乘積、反正規(guī)乘積與Weyl編序的積分技術導出若干新的算符公式。這開辟了一條新的途徑直接通過量子力學的排序算符導出一些復雜的數(shù)學積分公式。
　　 四、把IWOP技術發(fā)展到IWSOP技術(玻色情況與費米情況)。它統(tǒng)一了正規(guī)乘積積分技術(s=1)、反正規(guī)乘積積分技術(s=-1)以及Weyl編序內積分技術(s=0)，進而導出了任意密度算符的s-編序展開公式，

8、完善了帶s-參數(shù)的量子化方案與算符編序理論。并結合IWSOP技術導出了s-編序算符的恒等式、量子力學基本表象的s-編序展開式以及Wigner算符的s-編序展開形式。
　　 五、導出了量子光學中光子計數(shù)新公式，一方面根據(jù)原有量子光學中光子計數(shù)公式，導出了密度算符P表示的光子計數(shù)公式并利用該公式計算出相干態(tài)、混沌光場、平移混沌光場等光場的光子計數(shù)分布；另一方面基于IWSOP技術導出帶s參數(shù)的光子計數(shù)公式，當s取不同值時，就有不同形式

9、的光子計數(shù)公式。根據(jù)雙變量Hermite多項式的遞推公式直捷地導出最小不確定熱態(tài)，還利用Weyl編序在相似變換下具有有序不變性導出了最小不確定熱態(tài)的Wigner函數(shù)解析表達式。
　　 六、利用前面導出的算符恒等式很容易導出了Agarwal等人所提出的激發(fā)相干態(tài)(光子增加相干態(tài))的歸一化系數(shù)。在此基礎上，擴展到廣義激發(fā)相干態(tài)、激發(fā)Bell型糾纏相干態(tài)與單模激發(fā)GHZ型糾纏相干態(tài)，并導出了相應的歸一化系數(shù)。此外，分別研究了它們的光子